Дифференциальные зависимости при растяжении сжатии
Содержание статьи
Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Тема 3
Центральное растяжение — сжатие стержня
Лекция №3
3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.
3.2 Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.
3.4 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
3.5 Обобщенный закон Гука.
3.6 Относительное изменение объема параллелепипеда.
3.7 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении и сжатии.
Основные понятия.
Внутренние усилия при растяжении сжатии: Чистое центральное растяжение (ЧЦР), центральное растяжение (ЦР), правило знаков для продольной силы N, принцип Сен-Венана, гипотеза плоских сечений, выражение нормальных напряжений через продольную силу.
Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Закон Гука при растяжении и сжатии: абсолютная и относительная деформации, коэффициент Пуассона.
Обобщенный закон Гука: формулы обобщенного закона Гука, относительное изменение объема параллелепипеда.
3.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.
Рассмотрим стержень, по торцам которого приложены поверхностные силы интенсивность (рис. 3.1). Площадь поперечного сечения стержня . Равнодействующая внешних сил совпадает с осью стержня. Такой вид деформации стержня называется чистым центральным растяжением (ЧЦР).
Рис. 3.1 Чистое центральное растяжение (ЧЦР).
Если внешние силы распределены по торцам неравномерно (рис. 3.2), но приводятся к равнодействующей сливающейся с осью стержня, то такой вид деформации стержня называется центральным растяжением (ЦР).
Рис. 3.2 Центральное растяжение (ЦР).
При ЧЦР (ЦС) в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила .
Условимся: продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению.
Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации.
Из этой гипотезы следует, что все продольные волокна деформируются одинаково и нормальные напряжения, вызывающие эти деформации также должны быть одинаковыми и, следовательно, распределены по поперечному сечению равномерно, т.е. . С учетом формулы (см. (2.3)) получаем формулу для нормальных напряжений при ЧЦР:
| . | (3.1) |
Формула (3.1) справедлива и при центральном растяжении, но только в точках, находящихся на достаточном удалении от места приложения внешних сил (принцип Сен-Венана).
Экспериментальная проверка принципа Сен-Венана при центральном растяжении будет демонстрироваться при проведении лабораторной работы №17.
Пример 3.1 Определение внутренних усилий при растяжении и сжатии.
Рис. 3.3 Определение продольной силы на участках стержня.
Начало координат выбираем на свободном конце стержня. Стержень разбиваем на два участка. Проводим сечение 1-1 в произвольном месте 1-го участка и рассматриваем равновесие части стержня слева от проведенного сечения, определяем продольную силу из уравнения равновесия. Аналогично определяем .
На рис.3.4 показан график изменения продольной силы по длине стержня (эпюра). Заметим, что в точке приложения сосредоточенной силы эпюра продольных сил делает скачок равный по величине этой силе.
Рис. 3.4 Эпюра продольных сил.
Дифференциальные зависимости между продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Рис. 3.5 Вывод дифференциальной зависимости между и .
Обозначим — интенсивность распределенной нагрузки, действующей на стержень. Тогда уравнение равновесия элемента стержня ( ) примет вид: . В результате получаем искомую дифференциальную зависимостьмежду продольной силой и интенсивностью распределенной нагрузки
| . | (3.2) |
3.3 Закон Гука при растяжении и сжатии.
Рассмотрим чистое центральное растяжение стержня силами интенсивностью . Будем считать, что внешние силы вызывают в стержне только упругие деформации, т.е. после снятия нагрузки стержень принимает свою первоначальную форму и размеры.
Рис. 3.7 Продольные и поперечные деформации стержня.
Введем обозначения:
На основе серии опытов со стержнями из различных материалов были установлены следующие положения закона Гука:
1) абсолютное удлинение стержня прямо пропорционально продольной силе , длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости материала стержня
| . | (3.3) |
2) относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации
| (3.4) |
В формуле (3.4) -коэффициент Пуассона, безразмерная величина. Знак минус в формуле (3.4) означает, что если в направлении оси стержень испытывает деформации растяжения, то в направлении осей стержень испытывает деформации сжатия.
Таким образом, для каждого материала существует две упругие постоянные : -модуль упругости и коэффициент Пуассона .
Если обе части формулы (3.3) разделить на , а затем воспользоваться формулами для нормальных напряжений и относительных деформаций, то закона Гука можно записать в виде
| (3.5) |
Из формулы (3.5) следует, что модуль упругости имеет туже размерность, что и напряжение, т.е. .Например, для прокатной стали , .
©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных
Источник
(ðV+Ô(t*Qx¦ˆW4TôT¬˜¯X¡xDqHñ©^ÉH‰ÄQZ¥T£tTé†Ò´2UÙF9T9Cy³r‹òåG,ňâCáQŠ(û(g(cT»ªOeS¹ÔuÔFêYê8 C3¦ÐRi¥´ohƒ´)ŠŠJ´JžJÊq)¡Ñèéô2úaúuú;U-UOU¾ê&Õ6Õ+ª¯Õæ¨y¨ñÕJÔÚÕFÔÞ©3Ô}ÔÓÔ·©w©ßÓ@i˜i»käjìÑ8«ñtmŽË9‡çÜÖ»5Í4#4WhîÓÐœÖÒÖòÓÊÒªÒ:£õT›®í¡ª½Cû»ö¤UÇMG ³Cç¤Îc† û‘Ψdô1¦t5uýu%ºõºƒº3zÆzQz…zíz÷ô ú,ý$ýú½úS:!· ñ†,ÃÃ]†ý†¯ŒbŒ6u=2V30Î7n5¾kB6q7YfÒ`rÍcÊ2M3ÝmzÙ6³7K1«12‡ÍÌæ»Í‡-ÐNB‹‹LÓ»™ÃleŽZÒ-ƒ—»,ŸYXÅ[m³ê·úhmonÝh}džbhShÓcó«™-׶ÆöÚòß¹«çvÏ}ngnÇ·ÛcwÓžjb¿Á¾×þƒƒ£ƒÈ¡ÍaÒÑÀ1ѱÖñ‹Æ cmfwB;y9v:æôÖÙÁYì|Øù¦KšK‹Ë£yÆóøóç¹ê¹rë]¥n·D·½nRw]wŽ{ƒû}žG»Ç»§©gªçAÏg^Ö^»¯¯×lgöJö)oÄÛÏ»Ä{ЇâåSísßWÏ7Ù·ÕwÊÏÞo…ß)´ÿ6ÿZ܀怩@ÇÀ•}A¤ AÕA’Í’EÁ=!pH`Èö»ó ççw…’ЀÐí¡÷ÂŒÃ-…}Ž ¯ aQÑ¿€º`É’-¯»½»Ë»ïD™DI¢z££¢›£_ÇxÇ»ÇHcbWÆ^ŠÓˆÄuÇcã£ã›â§ú,ܹp¡8áú»ãEy‹.,ÖXœ¾øøÅ%œ%Gщ1‰-‰ï9¡œÎôÒ€¥µK§¸lî.îžoo’ïÊ/çO$¹&•’=JvMÞžTž§ú§Ö¥¾NMÛŸö)=&½=-‘˜qTH¦ û2µ3ó2‡³Ì³Š³¤Ëœ-í6% 5eCÙ‹²»Å4ÙÏÔ€ÄD²^2šã-S»ó&7:÷Hžrž0o`¹ÙòMË’ò}ó¿^ZÁ]Ñ[ [°¶`t¥çÊúUЪ¥«zWë¯.Z=¾Æo͵»µik(´.,/|¹.f]O’VÑš¢±õ~ë[‹ŠEÅ76¸l¨ÛˆÚ(Ø8¸iMKx%KK+Jßoæn¾ø•ÍW•_}Ú’´e°Ì¡lÏVÌVáÖëÛÜ·(W.Ï/Û²½scGÉŽ-;-ì¼PaWQ·‹°K²KZÙ]ePµµê}uJõHWM{fí¦Ú×»y»¯ìñØÓV§UWZ÷n¯`ïÍz¿úΣ†Š}˜}9û6F7öÍúº¹I£©´éÃ~á~éˆ}ÍŽÍÍ-š-ep«¤uò`ÂÁËßxÓÝÆl«o§·-‡$‡›øíõÃA‡{°Ž´}gø]mµ£¤êÞ9Õ•Ò%íŽë>x´·Ç¥§ã{Ëï÷Ó=Vsåx٠‰¢ŸN柜>•uêééäÓc½Kz=s/¼oðlÐÙóç|Ïé÷ì?yÞõü±ÎŽ^d]ìºäp©sÀ~ ãû:;‡‡º/;]îž7|âŠû•ÓW½¯ž»píÒÈü’áëQ×oÞH¸!½É»ùèVúç·snÏÜYs}·äžÒ½Šûš÷~4ý±]ê =>ê=:ð`Áƒ;cܱ’?eÿô~¼è!ùaÅ»ÎDó#ÛGÇ&}’/?^øxüIÖ»™§Å?+ÿûÌäÙw¿xü20;5þôüÓ¯›_¨¿ØÿÒîeïtØôýW¯f^-¼Qsà-ëmÿ»˜w3¹ï±ï+?˜~èùôñOŸ~÷»óû endstream endobj 2051 0 obj > stream xœì½xSÕÿ8|Æ=¹#I»´éLGÒ4-]t»R …¦»²ÛR°eYV†¡ ˆ€ˆhQ»* «»ú•F·’*'[«Š* 8¦ÿϹ7-C¿¿÷}Þõa»P ä24-sPÙ#¯@Í)øÔŒŸ6vf¿ŒÙ÷»»»»°süœÙöSß[€P»Aˆ•ÔÎœ4mH×ò?êZŠ1iÒØY3Qr»Ôë&ožäW›øƒó»oGhz÷ÉÇNøE_ð2BÏ6C{÷ÉP!-*Bú ¸ÉÓfß2Ï8¡’-ÞãÇF½ÒP’Ðó{ üü´±·Ì×GÀÛj¡¿}úØiC¶Y |’´¿3sƬپ¿Ð*»ËxûÌ›&ÎLø ž×8¡°õˆ µø~ÄÄÖ27`£}Óƒ¨- I&zLˆ@‰péÚºÄéƒ µÛ’!_;;ÛvGRƒðúo>…ѧ˜? Q¸v|»µqßA î¬gøLF » 2¢ÛÈd²Î 7ÓÛh½‡>IßLBš0D¸»±(6œ]Ï-³:¶2 /ꕨw¢‹^ýWLpLTLqÌ ˜ëbªcFÆŒŽY³=¦%æPÌ-1?Çüã³›í±ö8{¼=ÝÞÍÞÓÞÇ^d¿Þ~£ý>ûCöö=ö-íGÌäuÄ:â]™ŽÁŽ1Ž;;¶Ä’X]¬)60686″6&6169¶4vlìD’qšŽ¸Yq¿»»îpÝåºÇõ ëI×ó®F×vW³këE×Ë®×]-®÷¸>w}Ÿï‰/ˆ¯‰_CB÷»E)Þ»¹]CŸ‰xÆq’õ9}í휲œv´L!õt6Oï ÜGŸ¢ f!](îb,ƒU³±ìnv/Ð E½ålˆA1a1ö˜Ò˜2? ®Y³3fÌ’1Gb~9gGö@•iöL{Ž=×^hcŸiŸm¿ß¾ÁÞlÑOƒNru,uÜßIÐ Ðà3 AÏNLŒŸ 4˜»R»2húŒý»¾ä³«4Àíp2ÐçA²¦ò;ŸC¥jû°í;þ¾`Ÿ±OÙ’ìðŶFñºSFtÅÏ9ðÛýÃÏß·fCûSÝÔ~ßò뉉p÷;|ÒO~ߺ¡Ö¬ÖG[«Ž}Ù1¦uïÑÝG›6″t²«Z;ºê(@v´üè£éGߧðÚ#?i=ò6âÈÓG6Ãçé#yâÈÚ#kún.|ÆB‹t»}uê«»_}÷Õ±¯»´Þ_¾^óYÍ!¶Ûn袤äðºh]‹î=¸~¢»$Vðñ=©ÇµXÉ}dhSêô¹úZýLý}‹V¯Ï fî1l6Ô>3œ4JªˆÅ©×Xc>·k£Œ‹;æ5Î7Þj|ÀøPgy5ÿ×øKõpqƒvðxÀÆ€M×B cÖjŸ«êï‡Þ{þÆ&ŠkH9™@F’gqOR†áÅxyWã1x¾™L-1…L%7/™F¦»d&‰G&RO¶ãñ¤47C:Ð*»’ôÈ ë* ™YP BVŒBP( Cá(Ù@7Eá¥d0¾ƒ Cp.ZŠî@ËÐh9ºÝêÐ tºÝ‡V¢ûA->€D¡‡ÑjôZƒEkÑcèq¼ÏÁw’ ýX2šŒ!Õ¤†Â÷ᾤ’ŒÅ7′]xŽû’fò²ˆ,Æ}È«x%^ˆ+Émd¾‰l&Ï-xŠF1 (¹PÔe»7ꆺ£|T€ Q1JG•è:T…ªÑ4’¼€®GÓÑ4Ý»¢qègôZ‡Ö£ èI´ =ƒþƒP#jB;Ðëè Ô’ö£mèSô%ú A_£oÈ6týŽþ@çÐyLÑ÷˜ÚˆâÐS(mFIèY»Œ¶¢Tô
Ê@õ(íD=Ð.»ƒšQO´e¡í¨zå¢-Poô2êƒ^AyèU°¯¡»´• 7Q_ôê‡ÞF¥èÔ½‹ h z}€¡ÑôŒ¢rt•¡C¨}Œ†¡ÏÐPô ú G_ Qè(ZÑô-‹Ž£ñ蚈~@ÐIT‹~D»ÐOh :&£Sô ºÝ€Î¢iè7t#úÍB¡Ùèº]DsÐ%4µ¡ù°ÔnÃZ»cºKh Ñ/Ì$T#˜YÉ,Â(a4Æ×5`¬ÂXaœ0^˜@®& µ,D˜$L¦°0λ…©Â ,Jð’?h¬0EÓYŒ0C˜ÉìÂl>s7±Xai£IÂláfas sYœp‹0¹XʲÛØ»¶XX Üʺ…ÛX¢°HXÌ'»%,Y¸¥KYšpK-±°‹™ÂræËÐe w³îBËV°Â=,G¸-õîc½»•,W¸ŸõV±>,Ox@xå±áaaµð+Dñèi»ˆ¶ ô°† ²ba-+c}…ÇY©ð ¬cƒ…õlˆ°• O²Ja#«žbÕh*:ƒ¼èWa!6ZØÂÆϲ녬FxŽžgã»ÿ°ñÂl’°Mdµl›ŒÞcSØT¡^h`7Bó²iÂv6]Ø!ìv Íl†°›Íö°ÙÂ^v³ð»›ÇþdçÙ_ì»È.±6æcí:¤Ã:¢£:AÇt:¨»t²NÑéuQ 3‰’b»-ƈvÑ!ÆŠN1NþXIÄ.b¢˜$&‹)bªØULÓÅìÁb&î’ºÅnb-Ø]Ì{ˆ9bO±-˜+öûˆy¢Àx†‹q™˜/ˆ…b’X,-ˆ}ÅR±ŸØ_ ?¿¿¿ˆ_‹ßˆGÅVñ[ñ˜øxü^O‰§Å3JªÒUISÒ•ºGÉTÜJ7²OÉRº+ÙôEú2}•¾N[ðuô-ú.¢ïÑô}úýPéA?¢‡èaú1ý»~J?#ŸÒÏéx¸’£ô¤_Ò¯èú5ý†¥ô[zŒ~GÓïéIú#=EÏÐ_èYú+ýþNÏÑóô½$)Lé%ÅSŸ€,€Ç’0AdAô’A ÿ#P¬B°»» ‘Mˆ¢…Á!8…8!^è»$ ÉB*øj'[Ȳ…¡-Ð[ÈòålÉ#åKøþ·à/ñ³x+~¿€ëñGø~¼ ?€Äá‡ñjü^ƒÅkñcøqü^‡×ã øI¼?…7á§ñfü~oÃðûøü!þ7àF¼ïÀ;ñ.ÜŒwã½øEü~¿’_ůá×ñxnÁûñ›ø-ü~¿‡âOð!|*eK=¥T©«»&J¹Ò@)C*-²¤~RºT$eJ%R7©TþC¾$Ÿ»Ûä?eŸ|^n-ÿR|AÁòE…H½¤ÞRžÔ_ê»õr¤îÒ )QrK}¥>R'»,¥Ft»DÀ{&»‘ˆLÄHˆž(ÄDÌ$‡ô$ÝI7’Mz^$-ô&’O HéC I’bV¢‰…+%F TìJâP¬J¬¬8•%N U$» ÒW Sâ•p%A‰Pº(6%Q‰T'»(%Y1(T»)ŠIÎ’Ê=åÛä^ò»‘I-œ+/-{ËKÀƒ¸]λ-Êù9_^&ÈwÊ…òr¹H¾K.-ï-Kä:¹¯¼B.•ï’ûÉ÷ÊýåûäòJy |¿
ù?òTùùy›ì•ëåirƒùùVùU¡P(ú ¥B?a€0″ra¨0L.T /±%ÂËìvá¶Tx•Ý!¼Æ- ¯³;…7Ør¡…Ý%ìcwûYð&[!¼ÅîÞf÷ ï°û»wÙJá=v¿p€=(¼Ï>`²ÕÂAöˆð[#b ‡Ùzác¶Aø»=)|Ê6 Ÿ±§»ÏÙfáö¬ð%{^øŠmŽ°zákÖ |Ã…£¬IheÛ…oÙáÛ)|Çv ÇY³ð=Û-œ`{«»l¯ð{Qø’½*üÄZ»Sì-á4{O8Ã?³÷…_ØÂYö¡ð+;(üÆ>~g‡»?ØaáûXø»}»œgŸ ±Ï»ìsá»ûB¸Ä¾D· š‡ÚÑŒ…6ö•àcG»vö5Cì†ÙQFX+£ì[&°cì;vœ}ÏN°»ìòeäsª#_P’|I%ò•Éª¯©ž|C ä(5’V@¾¥&rŒšÉwÔBŽÓ@ò= «‘¨•œ¤ÁäB~¤¡ä’FNÑpršF3ÔF~¦’äEÎÒhò+!¿Q;ù:È9ê$Ò8ržºÈ_4ž ä»íB.ÑDâ£É¤¦PDS)¦])¡ièVL(¥é4ƒfRº¥ÿH Ò6©IzAj»ê¥íÒ ©» •KR™T)í-Þ-Þ’Þ•Þ»Þ’ÆI¥ Ò$i¼T+½/}$}(->I¥¥©ÒtÉ+Í»nfHÓ¤¥ãÒÒ é’é{éGé¤tJZ(-‘IK¥Û¤Û¥ÅÒÒÒyéOé’tNúKº[ºGZ!Ý’ÕI÷Jí2•±Ìd$2’uÒòI’-r°l-r «•ÖIK¤Ç¤õÒÒ»ÒNi‡t@zOúTúD:+ý»]’.ÊzY’ÃäPi¯ôŠô’ôšô¢ôªô²ôº4B#’j¤’ÒõÒhi¬ô…ôµô•tTúRúF:»µJ7Kó¤¹ÒiŽ4_ºEºU¶É1r»ì#e»-ÇJOKÏJÏHÏI›¥Òéyi·Ô,µH{¤7¤]Ò>©JºN. «ªånr¶/’Éné˜ô¹ôô™ô4Eš,Í’n’fË)r²œ*ý.ý&’NK¿J?KwIË¥;¥eršÜUN-d£,É¢Ô&ùdƒ,KJk¤G¤ÕÒ*9SÎå89BvÊá²Kº_Z)=%m»6É]äù5ùuù ¹EÞ’ï-߻ߒß-ß’ß•ß»Èï+½•>xŒüž‹çáòAÚO»ñ ò!OÅ^ù0¾ß‹oUòÈVš‹kåÏhyš,T Èr;YJî ËÈd9¹‹ÜMêÈ Ú‹ÜCî%÷’•ä~²Š$’‡ÉjòYC%kå/ä/å¯hoÚG>»Móäoä£r+íFFÈßÊÇäïäãò÷ò ù¤üƒü£R¯lÓËd&Ÿb¿Ë§å3òÏò/òYùWù7ùwšM{ÐÚ»Øot¡éXZKÇ’×Éóx!y‰ì¡»H-PV(O*•§»MÊÓÊfåe‹ò¬²U™O( ôF¥QiR¶+;»Ê.¥YÙì¡ó•½Ê‹ÊKtžò²òŠò*«¼¦¼®¼Aç(-Ê>e?¼©¼¥¼¼£¼«¼§ ³»÷•»•ƒÊGÊ!å0½EùXùDùTùLùùBù’Þ¬|¥Q¾V¾QŽ*Ê·ô&å˜òrù^9¡œT~P~T~RN)§•3ÊÏÊ/ÊYåWå7åw庒.£wÐ5ô>º»>Bï¥KèÃt]L¢uô6ú ½‹.¤«èrz;]Mï¡‹èƒônz+½ŸÞ©œSþTÎ+)»‹Ê%¥Mñ)íz¤Çz¢§zAÏô:½¨-èTê¥Óé:»WŠhµRL'»7h}»¥Ãh2-¡C»ÊÊBå6e’²XY¢Ü®,U60Æ~d:&2‰fg˜Ì~f û…éÙYö+`°sHG¶bf슌ˆšÙBþëÿÁÿD¾HY»B¼Z‰FBbÑõ‡n€Hô?…6¨qè‰ò8ôSˆA¿»(ôˆCÿ€»G ÷@t±3DÍ·â•èg2bçëpˆ¡ ¾žìØyÙ ‘õ«d/H>xxäE2-Œ#¯@¬{O€Ø{¬…ëI#y߈o£…ˆÚ±2ÄŒêªçëÖ¬îxžŽö ½°òâ°-l…¼ÄáÝ!úÖ¢î|5âFyóX{:z»…bÜÏTâ2ˆ þÍhþ›Ñü7£ùoFóolúÿ·^ÿ7£ùoFóߌæ¿Í3šÿf4ÿÍhþ›Ñü7£ùoFóߌæ¿Í3šÿ»f4’è¥Ù¾Q×D±•Ì’Øq5ÄQc »ñ (/ƒÈ숊ÞA¿`Žâç»ÿïÿ0Dµ¨ýŒoQûÅöDö«ï¸o».´]Ç>m·ÒSZ[†¾Úös¾E¾ÏÛ…7|£Ú’®¶=±ýâARÇÂuçÁ;_ƶ°ƒ€W»’¸îÿXƒ€×CŒV1B-Ä3á{Äpc f›¥³!›‡æ£½N‡¸lº Ýñ÷yO‡ö¹þÖEh Ô.‡hür,¾z.Scôþš»á{¥Ú-Ï¡EðWÇï« v_ݵÿ×h¢èU«üìßuo»¸{3ÄR[ÏZÝåšç ŽÞù:¨ã5/@»û1Ä´>ˆK/Aì~äDÁ8¤¥7ăz»U*ªM‡øuÐk- Ä€!Çm¡JƒE*Í8}4(-«Ã¸LTø× ®¿ûSj†ßß±ãOw¶ÿþ;ûØÖ«¹‡íh’Ú˜¿ ¸7BiÜ?Ø?ë§È ¥ÞŸ§à¼÷-+Ú¶ýµ™çŸÑ‹è%XIÍh7ÜñkGÝ˨Å_ÖJ¯©™}h?z½‡ Å?…»·Ð»è úRËŸ£o!Ž½€¾A’€G€’ÇÑ÷è$ú ‘úŸÑ/è,:¼º+-ó)8kØÜÊùf%ÿò³úïUd~œoó‰ZÖÿƒ´7ߧhÿ¤oºÏWÕ]ºNÑ÷ÏHϲÂläýösøî;$ë :l?‡®Cãþ èÔWµ Gs Å-yF,›=ë¦gΘ>Í{ÃÔ)»‘ÕNœ0îú1£GQ]5¬rhEyÙÁMƒè߯´oIqQaA¾’¯OïÜ^=szdwÏJëššÒ%ÞçŒ ³ZÌ&£^’%QÇJ0J)v-ÔØëãkê…xgii*/;ÇBÅØ+*jêíPUruŸz{ÚÍ~uOô¬½¦§Gëééì‰Íö»›šb/vÚë9íÍxDyÜß[䬶ןVï©÷B¼Z0BÁá€öâ°ÉEözc/®/™3¹®¸¦ækÐ+…ΉJj jPôp«‡»ú.Ι ¸K¬Þ.Å=’Œü±õÔU
£ðÔÒ¡ÄȪµW!b‹=Ü®DÓç+…دô9’sÒ4o’3S%¬eu…»Øů:J}ÌÛ9Ž›Î]˜¬)Ú•vrØO™Pêç4ˆ©íí7Bºfå%T6â17mš’×wJQö .ƒ-ÎÝrÞľ xczžËÌíuæˆEƒzO«Î7]?»è¦Lö•EåUíXñã Yš-ØÎ`¬³TÀR‰ì¿›PBû«ƒ%¤4!éDjs€£²]ð#ókz€¸í»d.-`ÉUKŸàH:áÕºëYÀþ˜™Ã{ÃW‡üvjý>°»ê4›M4¯QïzeV·I×WÆØ;wø¼AÎ^5/¨éÕcÎîÅŽAC9-}ô~%7úžÑ]%ƒY~>Òn˘’5 WF·ÞCg*¼}b>@ÚZ;Ãn ^›ÕX§»JD¸%•U¬Ë§ê²+ºÿì~Ž˜Œu ¡Õz¾5ÛÉ9″å̾…Û}éaéÅ…ÂRn1§u/ÀÜ¡¨¦µh`dTµVXh¾>?ð[Mkå©nºr^Ï¿íÐYyWÐ*dH]`$ÝôBï9Ï͘¿õ†ŒÆ¨’)ï[Þˆßôn[Pè¹yÓD:ãÒúA³wÙô0½žó™‡Pã IÓCž»P,!»»9’šI!§!Û¸ÀnÂÓxæ†?-þÊnaý8l’/»…q¾¢_|ƒßÆeئŜ-Vú|˜Ð9© CŽj¹šTOÕ(€¿ÒŒ¿ß!f3ýÄN,Â/’µõØŽ™-«Àf²šõ’]y¹ý3dh?Š,í»˜ô@½ÉbP]@€ÈX¬¡ zS~[fñ³°Ãf ÔÕenür´«À™õÿ0OXçDnÄ07`ÜŠiŒ_»œªSÓV3b‹Û»·nÁÎÞB7Ž6>øð»>°×—ÿþ>Þvþùíœ%¾«+Vý¶q*’ôHT¨»D¬±NÖ)TÔad»!Ú6(Àš|]¾PH¹Né À¼†öý™·z1Á*/WtÓúiÞ ðÃÝ»Á¾×}¯}›|3ádœzÀ7ƒ˜Û~!»E>+>Õv·ß³=§Æ£TèŒT™‰»ìØdn»òÙ^ =(°/ŒÓ™=ø‡/ü™-™f¾BwEÍ; €%ÔŒ½êZéô41w2¹¿Ih›H¶šGÖ·Í¢»…•-B7/£¿oäö~¬›×¨œ†îPe%8XÆ1͸¾ÑèHhÆïxLrºá=lG±866Â^ÜŒÁݱZþŠ(K9’Th×L-Àîœ4N0c¬á=/¶«êÈ ¯5Âò-7¢LH9ç…áþ #OM3¨’XB‡ËÐÝíÎêÆu»˜Õ‡ªËB/›’p]Bų£‡ÏâjýêÛnöt•£|ĸ̒Lì¾íHþ˜Ü¨À.ž®¹ _^^š2hrïGž«ª¾!Þù»!4PߥâÖʶøíˆô¤¨¬Ä°~C8-6´ÿ:dèäxÌ¡Ù‹·ÁJF¸Éc¶J Þf*»‡Æ’ î>š5OaÖÔ±ÅÀLám^Þ‰Åòònà©%«Ö¦S»Ä’ÀZ¯öˆD‹¦›é…âE;oªÞ3òiÀsã†ß^•Òš9¸»£¨_yW÷ÔôÜiC3ˆ´pßÝýb]¬¿oÁž‰CK-îž?äŽ1YÁå¹¾pkh|µê ¯ƒâyzE¡É-F mÆ»uÑÍXöÈ‹LØø-¾5cq×Ì(qV 5XìÌIVS&u€â5éÿòêË¢ÔÞ(qÁK+®ÉF ëPÖµéÕÇ ÏxÆ×ÞÿÎ=3ßÕ’yiáÜݞ軬+»»ós_¯¾96Æ]SwÝÎv;ÏFpéŽX’C[+ Š•Œ,ì’¹B_®ùƒ•© ^u :$Qµ’ÐËvÁ«õc1x¡§ªðU’ òÃ|qú0[ƒÛ¢šÇi%KvÌHºíq]¿ã‡/½.¥ñ†q-‘Ovß··.~óî¾#Þ|aÁËSkK-6/ØÙ4g6þDžËÕÍíüMŸšÓ»‘ƒ!¨¸³)&8¢Ú]žàघ+,Iq#ÊŒÄsæ tÇ—êªBpÙê_XaBÌ/ôŽˆ;kÉ`üØk0‹ç Á~tz®:ÑaU+;¸cai†_ìî!myÏoL©ª`ïÛT³dÏÜœÞ7oõNÙ8#gµN(ÈS»ÄH²+3díÓ¢Á$¯´†-,{mþÔ-VVÌûOEጲԻ²™…þ÷¥ÁŸ[¥¾Ûv£Ê1&5ãF-@¯7ˆ(ÄÀÎéM’dQ’.»rÎR©»ƒDyž!Ç €y¿ù»÷¡Ð¢Åð¡AÄ ±s^0’¤ 9çUG©^-žLδhËxìϦd9²ÌŽÌP,Øîÿnö•6ø^Â…xãäÛ.ŽE«_Õ-MÞ^µ¯ óÍâYË1¾Q’øÔ D5èsÍÀuÀ¶A¸aWҧЌ^ò6xŒ×Åe-˜qÝu‰Ôº¿žv.~×ïkò•»-T¼+Å•¤P©;*Á%R‰4¶{¯Ã=‡Œz·{YÞÁÈáš?ÏQ9ڢƹæÓ`m8úÜ;p.—›NðgCÁ€šU‡%Ñäó—Hïzµéµ¹{ö:ìí9¤û¨w½ÝË»ózá šßŸ¬=B{B²Å†z;D-g(‹¦-óÝݳy ]µEáÆV¿ßŸà Aþø ˯ºè¬È˜œÉ«®Ë›nŠè-‹¥‹Fº{ÎÛ³xþsÓ3‹úFćz’Eës&ªrE`o}莡7GO˜ä»àHS²ì=‡¤w+ÏŽêø¦cœ£»^2Êm³FfÆÄg…ÄzÆô)¼ed÷»âësúMwâ’ÓCó½é¡)î^ñ¼§»ÝwÉÒ7?:#ÏÑ»'»C»»iLzYgîà$þ×k0-PžÓ9*ƒfœ®ñØ»Û €¯2†_-ÈçÄrp¿»x+¨þR+úƒ¶}|:OeÒͽÑIYås^±ÜªðZ©‡¢?¼0’ï ŽÏˆŠÌŒŽÏŒŒÊˆæØ,õ¢»›`ÒE6.ÀƆ’@b’bM²$éÀÉ»w(¦¿tÃCTðì!{Ш!mõñ,Ò ¡í0J’5µ¯èLyuÃíÚX/ÿçCƒþð¢+PSs»-³Kñ YÑÔŸÂ×àIKsg>UÛÿÞœ˜¾ÆÝt»ÏJÜ×¢{êRü»§fö´…m6GÊ÷ßCËîÇOwàÜAnáv’®I ë h^Þn$áSM²Œ»-ñ×dP0ÝàŒã³3ôò¢ˆT`C…rT®fCsòü-{ßÑ@,m¼º[˜¿ß59¨»Ÿ})/¼€ßøÞ-H»Ú¾gË.=Žßõe Æð À$kÃݪTYüR¥¨R…>¦CUp…©ÏöE{¡‡º€¯-š+¥D8·ò¢aÕ*þÌ@èT4GÕ¸QaÍx[c»ó¯TXÌmžP£±kšîRYйز(W»mHD¹ÑO (jêç¤Íáî»f7C»tç¼Ie±Aç¼W ë¥åy-N’Æyå;»;n!Áüj±P¯h µXcÒìëES˜%ОîØ°LŠÈèÖ+®¼2¬k-‘é%r0-×Ö½:¿my9»(>ÀÚmDIÛzê•œ²ŒÐ©3¸vðisìj?#(€÷¹*pÔÀðDƒoÀsU™ÊœçYÅ劎Õ_à 1çy/«¸rŸ’e¯ÍT)·6Þè}nn^ÇwcâÀi…ƒgôu$ôñoì»ùý¾ºðæ×à{É«wŒ^1:wíòþ)óoîcújé€ÙŠšÔ6»Ä¥Ä#Õ§ -Œñ†ˆ6s™aˆ?O38•g9ü±ïhŽhój]™óP>yšÞ¿ÒßäÌø’‡³;½0àŽíSÒ¯Ïxá1ý pm®r8Ó§ºïÝ@¤;ߺ£@1øF±;·Lú›»ù ÷Ó «×TNÄúý4Iá~š!ÒªùiN£~ÁT¡»Ëì‡;ý4MëöÓ -)ü’WëÇ쇯ðÓ4Óá§eBÙ~7M‹ü~ZÎÜ=KÜz¬Ý&ß×RuûuÉáîAÝÀQë21çÁµ¸ÕûúƒÃÍ-«»ñ’Oß)½£y~å£3¹«öº¶Ó$H*šÿO÷âuŸ¥Ác-ƒ¬Tn¸p áé ·äø «¿3ôª½¸›¢uãðkÝãý«äíõ¬ú?U?©«§CËœ}T¦×ÓS»o¨yçÍ;æ†gïݶ@ÕuàCîȲÐBM¯¤à¦¶8[œR³£É¢twòYq^-pÎ'»Úˀ̣¬×oÓ}Ày±ÃÁ¿œG⬠ԅ䌳’€s¥Ô‹ç½bÅ?¤’UÅkû K -…àË[D¡Ñ»îëS1zZísU/_xKP滑E³*ÓÆl¸¥×ýƒ+ìž_œS[Q= fUæw´n(ʳ%’$Ù¬î’1ž¤ ÃsŒæǬAVgšÍ-‘˜’SRÅi’ÎÛ,…¢•[f#×t!Š(J¡&)L4ÿiPŒCÐÅPëyêw¦ÝT{˜o úýË`ÑhþÓkð@×PtÑJç/Ç5V#›ø,uÏ+[Ý®óG5o÷º-ÿ¥=¾8ì¯÷¬™é7õ 0Ÿk †°5Õ÷Ê>â½Ádæðð½Uz âÉëÔ¸ßÄtÙ%’RY™O1mnÿÐ#SQ*×é¯ÌÌ´
uvS7ò´’?åûÏeeÿþŠoÎ[ôTÛä›ÉC-¬ (PßÄy]… :Á E¯-%[,f*b2™Í(ÀȳAj2ˆ»ŽòDO yBõfƒÉ¢¢Ñ(ÊÒXNpy 3ÏV©§®ÜῼÃÁ³Dj~¶c§Ã¢ýj:-,à¿Í¦MìŸú¿¥‰ 8´*ʱâÀª•É,|»Õ4ü +ÞTëõR_³ØT¸ì^²s¤è’ôУ¿T rJÍí’=ÑN’±;12RÁ +üÆQÔ ¡T(ǘ›LÎíOÛÊÚŸ *ª¶«y%˜õF«³›»-´˜.-ZªQÞKMAñ^êÌ®íÅû¨¹*ÞG½’áê¬@›IMkñ^ꢿ¶-ª®?¬xø»6}•xÂwÖ÷{+^æ»÷,aú©o9^ä[‘Ïãß}·áÛ}’zùjT9Cwiù+kP²ÊW»G7·ÝñE`9øÔcRŒí8]ÀºáAVk˜_ªÝy99=üùì~ùkµ¦‰÷Nu¸¢Ž·€ÿil÷ uÎ ¼[UIjâHËŒòèøŽw6ÖÄ!Ê·5ëÆ;7ŒH é•>´’Ý7c¿ÏÝó’ŠÛîÞ¿(-u»EæMèË×ÉãÈC€ß&ðá ~2¢âgæ«0¬ˆv’þɆ@q;’ÎsQ¸»1×’y¤EÍ߈Œþé…~H:ïU Þ»shù¸`ì .}J²Û>%Ú’ÁÉ’îjKƒ4§ýW¡-Mo¾;ê‹>Òt}Þ᱆ef蘕ƒP¡@(°2ÁÁCQ}¶5;~ÄU»JÂ;=1¥ iT»ÆY…ÈL»XÏó’CÓ.ȬPý>-·Ã·Š9″³ûµ˜’§mùÊ4ó3C—fõŠ5WÕñ·¹#{ž÷F•Ó.xýósQËCñ F»Ô™p9’ßát©;/¸{Vz60wëH»…’3) néê»vìêÚ¬.EÕ!=²»V/,Ÿ_’èzCLRhۺؼ’9·ó½›»Šë+K»ôN î’bK˜ã [-~2ìҴܼîcï,8wtßè˜âûŠJçWgv-›ÒkÀ×»¼ß»YUy±5ø¾Ðn}ú»‹èÚ’®ûèΰŒ^}ÕÿÙè® ŠCš÷Š?C1ˆáÏ`-£›»•¸|»÷u&ßÖмÏÆ@n°£wx#OÏ|G¼Ÿ©yù»J ÇÕEŒ«B¢,-¨»ÔÞ-Èü^H-H‹%²‹Vl»tx!$!ÒÒ;µ£érÉ·¯Û3¾ä .€P·§’=}njÆÉ :.ÎüÝ~èÎpô7Ç[½:UˆÕŒRhˆø_É2çwM¿»¨¸(³ÃítægDõž·ã-$$Ù»˜Ô-%3)¸k|XTîˆÞCSÞâ€ãø2ᱧQ.†`€§)qÍ8iGDÙ5`å©€©4lˆà] (û’ óþ+˜×F£þlœÓ#)ÁkÛÏþˆ¤HË~…7Ühr’œÔ]þXR*Ó»‘´u§«!š7n÷FW ÞÜèEe-£’k ¾6o@Ü×@k¿¦L}×6¶9ÿ8Âx@~÷ÈS4Ž0B’ ZR`ÕElà›ÒèUTÿèà#ɱ½S#»R{Ç:sùw.îѵ·3V+Ä:{wàO»ðt™ë(^ÍMƒó³K ¢üð7″¥/Faþ3RY:¦m+Ž? õLðó ïvˆ³)x±ß7P»ñ…Æ «4ãø¦€ 4″çßïX|MÄÀ[¶{Õ&î™G¼ï÷$þFÙµ¶µÑSméÎà`gº-2=.88.-»xAÐ]¼18.ÃÖÑdˈ㙜úZ€(uE·hQüÒ!;þ«)))(÷~»!ˆÙ â¢tº WE`3Æ AjB€ëÊÓfîáVžÐ`f-:ÄèÕÑ¼Ú >ªÑ¤e ø¸d?& ]Eðˆ:²sêyVáoY˜µÛŸ»6ÞÜ»»3$×ûpU¸mâ3KÇæÇøE¦;Vgz¤-=ÎjK§oo|F/ŠH/NîwÓà.ÇçW›réâßñÇx5¹@ç±U°ª»j»»J3¨« Öq%`×’ÓTiße Wm%ÝÜ¢&mµáJÝtÞk3λ•;oÇÕ§§t궚nƒ§¾Z«™øÃ[¸ýŸÕft) æ5′ îåWg Ï&S§ª>ÛíùrEPcWd…/AA‰o»+Mèm*1ø‰Om£Ûœ®ýÛ^è «y»»2ÿuØ?UGÊÐü.öSLºÃ’ÛÕ-3ãi/1@e•= ‘™qP-Ü»»ô¤´k²34²GeÎà•Ó-üsµz.-ˆÏã@?Ž{ Y·ŠFu+EÞ*É?Qk«.’Šab¥Š Ÿüð?qÀõO•¤$¹Òs5~›¼m¿ýÒt±vé-«ž`MD²‡iøýsµŠŸoõáD¿ ?÷5øj€b7Sb7d>Übþät’†êÆŸIEMã¤Ú)Œ÷ÚLTÞü¿€å>bMü·fp$ÿ©p‰î¦ïÒFÄ Þ©ä8¾Úr»£z¸êÈ»PüðhE#AÂ^ÜËŠáŠíHÏdŠÒÜ-܉9»ƒæ¯Ï~ì×Nj[oTõhˆ1S¯ÄöÅuüDéùãË|§qækôÕ-àÕøÁ¾Ý¾æR|?^Éiÿ8ÀõéÕpiiЩpqÞÔˆ Û‹Ëÿ§Ë·*3} Ô’+áRÛ:àrÑlŒµ+øùçwcâóµ½ùÃËp ï̸.öMóMŒKqßRß¾™€ú¬öDú¦jaRÕ(@A˜D‡bRx †ÊÍ£•þ:5@õÒ o¶Ul&/°emÒÝØê«%Ëtµ0WÇÙ´»¶c: û¤™Ö&µ¦AqZÜdÙ¦M¾Zoµ_ÂSÉ4m×ÎcÚvÙTÂ
«éøã5+,Ð ´ìz´šmd&PŠi´¡° K‹8ðO-Ü7chzúÐyþoZ{EAýæó§øFÑqì 2¢.ª%7Jµ]§¡ánê¹ö&µìÇN=°žŠ,ÖÀPò-Ï1iñDß-¯úFáç›wö×_çNò-ñu=é«|™ …gô¼öÛ·ëÅáhÚUÏàåÎgðP»¡{`-ãiø@ÊÔ¦»&¾ñªo!;èÖö‡÷äon›ôÞô=þ ß Ï°ûj©’mA¢æ7&6ãY>ÒyéGx˜ßekÕÎ÷tÂG^Ó¼xØeoMÍÔƒ§bôábß^|ÚW{.é¦ã0ÿ>˜?PyÏ¢c›qǨgvýAƒE|>,þ#ä½âˆ´ý-g[Ìê6¼Çj7èz¡_xÄGÞða(þ#/ô½ê݇ žlWÖî`5jR7d¸eé-Ÿ•ÕÍéC²G»÷ÝÍÚeÄSúçž8ôññ¶eGó‰ŒAY’+Â2vóm¬~½ûžVÉ¢oÀŠ°hûÛ’ÙBÍx¸’ ʒ`0)¦ =#XOt&ø¥ðkhÁdNfG¢ç¤¹Ý ÏffVCà5£î×D3ÓWt9ƒX’˕ͨ›ºB}Èw»teˆ¯5»}Š±-le8¶•øÞ£¥s÷ø¶âá{n~díÍ/áᾯ,XÓ¹kѽ’Æ«ë:@’d’Ê2`…óÍÛüûEÒ~,yˆPŽµý¢œõìXËÙ}7ßoN3óÿ®Ñ•Ã:zÿÏÛFô»/‹oµ·w¼DtêºzšU002#£ySaÍxÓvƒÉdÐ5ãý³Å‰Ž††ÌÇŒùaÇW½ø ¾4ÓñæC(:ê…~Fó1¯1ßvÌk¸úÍÜiyÔM&Üù’.;tË®yý-í延m (nàœ¡oXó%9îþ^y»;]‹†p3~f4ÿ@ó‰zÞ§¸xï¢è¯Zɽru3Ñ ðàu;È/¢‹K˜íq ‹Áw诞 G³5M*âMáüÝ€µMV«Iߌ×7J6¼Ï…ÀÀ€×{̦|»4? _¸It’û©§3ýæ^X+Ït€õPE1Ÿðj½ :N+诞3ÈôCåÐNt8¨úò€êhf;,Tò}#F¥¤âc¸À¸¾-b½Ñäðäf¥Øer‹°äCßÚ7;}C°Íw7$Œß’1žpæâ ™ÿí ŠŽÓ¬ýðþfõÝ©u†¯oÒé,{ñ» 1~b’1¯žñwŒdÙ‹ç€ ðcM&»»È×=azÉlÒÉÈ$Hæ|c¾¾P* ‰vbOÝÒÔ-!HŠp?›y¸ã¸žYQIñÃÃ:Ç«†ÎÍmðIËr›…Ý[}à¢-|6ù4ãBß»/à´MdYж¢mY×6Nýl$óÚ-‘ê¹Í_@B’QzJÃ6·xŒ±.C¬Ík°ÑŒ¤fü-ǨËÈtÕ¥éõ1iÍزÑciE»mÍí¯î2-ÚÂZc xŽ¿s;TGÇ+d‡)´}V->à¨W› ñ¹
Источник
Деформация растяжения-сжатия
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения — одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) — величина определяющая жесткость материала, единица измерения — паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения — джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA — это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр — сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый — упругая, второй — пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая — разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая — отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х — увеличение длины пружины, k — коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F — сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности — безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник