Формулы для сложных суждений используя логические связки примеры

Сложные суждения. — Содержание и форма

Напомним, что сложные суждения
образуются из простых путем того или иного их соединения (а также путем
соединения простых со сложными и сложных между собой).

Подобно
простым, сложные суждения могут быть истинными и ложными. Но если истинность
или ложность простого суждения непосредственно определяется его соответствием
или несоответствием действительности, то истинность или ложность ложного
суждения зависит, прежде всего, от истинности или ложности составляющих его
суждений.

Сложные
суждения отличаются от простых также по своим функциям и структуре. Основными структурообразующими элементами здесь выступают уже не
понятия-термины (субъект и предикат), а самостоятельные суждения (причем их
внутренняя субъектно-предикатная структура уже не учитывается). И связь
между ними осуществляется не с помощью связки «есть» («не есть»), а в
качественно иной форме – посредством логических союзов (они называются
также логическими связками). Это такие союзы, как «и», «или», «либо», «если…
то» и др. Они близки по смыслу к соответствующим грамматическим союзам, но полностью
с ними не совпадают. Главное их отличие сводится к тому, что они однозначны,
а грамматические союзы могут иметь множество смыслов и оттенков.

Каждый из
логических союзов является бинарным, т.е. соединяет между собой только
два суждения (кроме отрицания).

В русском
языке сложные суждения имеют весьма многообразные формы выражения. Они могут
выражаться, прежде всего, сложносочиненными предложениями. Например: «Ни один виновный не должен уйти от
ответственности, и ни один невиновный не должен пострадать». Они могут быть
выражены также сложноподчиненными предложениями. Таково, например, высказывание
Цицерона: «Если бы даже ознакомление
с правом представляло огромную трудность, то и тогда сознание его великой
пользы должно было бы побуждать людей к преодолению этой трудности».

Не всякое сложное суждение выражается непременно сложным предложением,
но всякое сложное предложение выражает сложное суждение.

Сложным называют суждение, включающее в
качестве составных частей другие суждения, связанные логическими связками.

см. презентацию «Таблицы истинности»

Соединительным
(конъюнктивным) суждением называют суждение, включающее в качестве составных частей
другие суждения, объединяемые связкой «и».
Соединительное суждение можно символически выразить как аЩb.

Конъюнктивная
связка грамматически выражается не только союзом «и», но и словами «а», «но», «также»,
«как», «так и», «хотя», «однако», «несмотря на», «вместе с тем» и др.

Возможны
четыре способа сочетания двух исходных суждений а и b в зависимости от их истинности («и»)
и ложности («л»). Конъюнкция таких суждений истинна в одном случае: если
истинно каждое из них в отдельности. В остальных случаях она ложна. Вот
таблица конъюнкции:

а	b	аЩb
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

В принципе,
логический союз «и», в отличие от грамматического, может объединять даже такие
суждения, которые по смыслу очень далеки друг от друга. Классический пример: «2
´
2 = 4, и снег бел». Правда, и здесь можно найти что-то общее, например: «Это
верно, что 2 ´ 2 = 4 и что снег бел».

Разделительным (дизъюнктивным) называют суждение, включающее в качестве составных
частей суждения, объединяемые связкой «или». Разделительное суждение
символически можно выразить как аЪb. Бывает две разновидности дизъюнкции: слабая и сильная
(или нестрогая и строгая).

Слабая (нестрогая) дизъюнкция
образуется логическим союзом «или». Она характеризуется тем, что объединяемые
им суждения не исключают друг друга. Языковые средства выражения слабой
дизъюнкции – грамматические союзы «или», «либо» и другие. Например, как сказано
в древнем поучении «Мудрая книга, оставленная человеком после его смерти, более
полезна, чем дворец или часовня на кладбище».

Слабая дизъюнкция истинна в тех
случаях, когда истинно, по крайней мере, одно из составляющих ее суждений, и
ложна, когда оба суждения ложны.

Вот таблица слабой дизъюнкции:

а	b	аЪb
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Дизъюнкция может состоять из трех и более суждений. pЪqЪrЪxЪy…

Примером может служить рассуждение
Ходжи Насреддина, который взялся за десять лет научить падишахова ишака
грамоте: «Через десять лет либо ишак сдохнет, либо падишах, либо меня аллах
приберет». (А может, и все вместе).
Образец дизъюнкции мы находим у Цицерона. «Люди ведь гораздо
чаще руководствуются в своих решениях ненавистью, или любовью, или горем, или
радостью, или надеждой, или боязнью, или заблуждением, или другим каким-либо
душевным движением (а может быть, одновременно тем или иным), чем
справедливостью, или предписанием, или каким-нибудь правовым установлением, или
судебным решением, законами».
«Вечно он был занят либо судебной речью, либо домашними упражнениями, либо обдумывал, либо писал».
«Всякое заинтересованное лицо вправе в порядке, установленном законом, обратиться в суд за защитой нарушенного или оспариваемого права или охраняемого законом интереса».
«При хищении, недостаче, умышленном уничтожении или умышленной порче материальных ценностей ущерб определяется по ценам, действующим в данной местности на день причинения ущерба».

Дизъюнктивное суждение может не
исчерпывать всех возможных случаев. Тогда в русском языке ставятся выражения
типа: «и так далее», «и тому подобное», «и прочее».

Сильная (строгая) дизъюнкция образуется логическим
союзом «либо… либо». Она отличается от слабой тем, что её составляющие исключают друг друга. И она выражается, по существу, теми грамматическими средствами, что и слабая: «или»,
«либо», но уже в ином, разделительно-исключающем значении.

Примеры: «В 14.00 Николаев был в кино или в 14.00 Николаев был дома»; «Виновным может быть признано лицо, совершившее общественно опасное деяние умышленно
либо по неосторожности».

Для того чтобы подчеркнуть строго
разделительный характер грамматических союзов, используется их усиленная,
двойная форма: «или… или», «либо… либо», «то… то», «ли… ли» и т.д.

Как считали древние: «De mortuis aut bene, аutnihil» («0 мертвых либо хорошо, либо
ничего»); или: «Либо я найду путь, либо проложу его».

Строгая дизъюнкция истинна лишь
тогда, когда одно из составляющих ее суждений истинно, а другое ложно.

Условным
(импликативным)
называют суждение,
включающее в качестве составных два суждения – антецедент (основание) (p) и консеквент (заключение) (q), объединяемые связкой «если…, то
…». Схематично это выглядит так: p®q. Например: «Если предохранитель расплавился, то
электролампа гаснет».

Условные
суждения могут служить формой выражения самых различных видов объективных
зависимостей: причинных, функциональных, пространственных, временных,
семантических, логических и др. Примером условного суждения о причинной связи
может служить высказывание: «Если воду нагреть при нормальном давлении до 100оС,
то она закипит». Пример условного суждения о семантической связи: «Если Мария –
жена, то она замужем». Пример условного суждения о логической связи: «Если все
преступное – наказуемо, то не все наказуемое – преступно». В естественном языке
условные суждения конструируются не только с помощью союза «если…, то…», но
и других союзов: «тем…, где…», «тогда…, когда…», «поскольку…,
постольку…», «при наличии…, следует …» и другие.

Импликация
истинна во всех случаях, кроме одного, когда предшествующее (основание) есть
– оно истинно, а последующего (следствия) нет – оно ложно. Таблица
истинности импликации:

a	b	a®b
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Эквивалентным (двойная импликация, логическое
равенство)
называют суждение, включающее в качестве составных два суждения, связанные
двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой связкой «если и
только если…, то…». Например: «Если и только если человек награжден
орденами и медалями, то он имеет право на ношение соответствующих орденских
планок».

Смысл
этого суждения состоит в том, что утверждение о награждении (p)
рассматривается как необходимое и достаточное условие для утверждения о наличии
права на ношение орденских планок(q). Точно так же наличие права
на ношение орденских планок (q) является
необходимым и достаточным показателем того, что данное лицо награждено соответствующим
орденом или медалью. Такую двойную обусловленность символически можно выразить
двойной импликацией р « q, которая читается: «Если и только если р, то q».

Эквивалентное
суждение истинно в двух случаях: когда оба, составляющие его суждения
истинны и когда они оба ложны. Таблица истинности эквивалентности:

a	b	*a« b*
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Задания.

Найдите простые суждения, составляющие сложное суждение; определите
логические связки, запишите сложное суждение формулой.

1. Если Иванов здоров и богат, то он
здоров.

2. Число является простым, если оно
делится только на единицу и само на себя.

3. Если число делится на 4, то оно
делится и на 2.

4. Произвольно взятое число либо делится
на 2, либо делится на 3.

5. Спортсмен подлежит дисквалификации,
если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он
принимал допинг.

6. «Вам никогда не удается создать
мудрецов, если будете убивать в детях шалунов». Ж.Руссо

7. « Кто утратил стыд, того нужно
считать погибшим». Плавт

8. « Только та победа истинна, когда
никто не считает себя побежденным». Будда

9. « Предварительное значение того, что
собираешься сделать, дает смелость и легкость» Д. Дидро

10. « Мало иметь хороший ум, главное —
хорошо его применять». Р. Декарт

11. «Поэтами рождаются, ораторами
становятся». Цицерон

12. « Когда глаза говорят одно, а язык —
другое, опытный человек больше верит первым». Эмерсон

13. Лечите душу и телу
будут не нужны лекарства.

14. Мысль не свободна, если ею
нельзя заработать на жизнь. Б. Рассел.

15. «Если человек не умеет размышлять, то
даже если он прочтет гору книг, он заслуживает лишь, чтобы его назвали книжным
шкафом. Если человек не очистился душой, то, даже если он заучит весь буддийский
канон, он будет подобен деревянному идолу». Сюй Сюэм

16. «Умное лицо бывает не у того, кто
много и легко думает, а у того, кто думает мало и трудно». Г. Гегель

17. Рожденный ползать летать не может

18. Тот, кто лишь пытается начать,
никогда не начнет. Тот, кто слишком торопится, ничего не достигнет. Лао Цзы.

19. Не говори ничего дурного о ком-либо,
если точно не знаешь этого, а если и знаешь, то спроси себя: почему я это
говорю? Ж. Санд

Конфуций:

20. Мудрец стыдится своих недостатков, но
не стыдится исправлять их.

21. Не говорить с человеком, с которым
можно говорить, значит потерять человека; говорить с человеком, с которым
нельзя говорить, значит терять слова. Умный человек не теряет человека и не
теряет слов.

22. Безумец жалуется, что люди не знают
его, мудрец жалуется, что не знает людей.

23. В стране, где есть порядок, будь смел
и в действиях, и в речах. В стране, где нет порядка, будь смел в действиях, но
осмотрителен в речах.

24. Благородный человек предъявляет
требования к себе, низкий человек предъявляет требования к другим

25. Когда государство управляется
согласно с разумом, постыдны бедность и нужда; когда государство не управляется
согласно с разумом, то постыдны богатства и почести.

26. Признаваться в своих недостатках,
когда нас упрекают в них, — это скромность, открывать их своим друзьям —
простодушие, доверчивость, выставлять же их перед всеми — гордость.

27. Не меняются только самые мудрые и
самые глупые.

28. Не беспокойся о том, что у тебя нет
высокого чина. Беспокойся о том, достоин ли ты того, чтобы иметь высокий чин.
Не беспокойся о том, что тебя не знают. Беспокойся о том, достоин ли ты того,
чтобы тебя знали.

29. Благородный муж думает о сложном.
Низкий человек думает о том, что выгодно.

30. Служа отцу с матерью, увещевайте их
как можно мягче. Если ваши советы не возымеют действия, будьте по прежнему
почтительны и смиренны. Даже если вы раздосадованы в душе, не высказывайте
своего недовольства.

31. Тот, кто, обращаясь к старому,
способен открывать новое, достоин быть учителем.

32. Кто не обучился в юности, того
старость бывает скучна. Екатерина II.

33. Тот, у кого есть воображение, но нет
знаний, имеет крылья, но не имеет ног. Жозеф Жубер

34. Кто не понимает ничего, кроме химии,
тот и ее понимает недостаточно. Лихтенберг.

Источник

Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки; составьте таблицу истинности для получившейся формулы.

Формулы для сложных суждений используя логические связки примеры
Устал с поисками информации? Мы тебе поможем!

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ

Знак: .

Союз «или» может употребляться в строгом смысле – когда члены дизъюнкции исключают друг друга.

Суждение «Автор «Войны и мира» то ли Толстой, то ли Достоевский» является строгой дизъюнкцией

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть:

4. ИМПЛИКАЦИЯ (от лат. implico – тесно связываю)

Знак: → .

В языке аналоги этой связки союзы: «если…, то»; «когда…, тогда»; «коль скоро…, то» и т.п.

Обычно с помощью импликации выражаются причинно-следственные отношения типа: «Если выглянет Солнце, то станет тепло». a → b. Первый элемент импликации называется основанием (антецедентом), второй – следствием (консеквентом).

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (от позднелат. aequivalens – равнозначный; равноценный)

Знак: ↔ или ≡ .

В языке аналоги этой связки союзы: «если и только если»; «тогда и только тогда, когда…»; «лишь при условии, что…, то».

Суждение: «Только тогда ребёнок получит конфету, когда доест весь суп» является эквиваленцией.

Запись этого суждения с помощью логической связки будет выглядеть: a ↔ b или a ≡ b

6. ОТРИЦАНИЕ

Знак: ~ или . ставятся перед суждением ~а или а ; или черта, которая ставится над суждением

В языке отрицание выражается союзами и словами: «не», «неверно» и т.п.

Суждение: «Не заводится машина» записывается как ~а

Суждение: «Любит или не любит» содержит строгую дизъюнкцию и отрицание.

Упражнения: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок.

1. Он в кафе закажет чай или мороженое.	a ˅ b
2. Преступление может быть умышленным или совершённым по неосторожности.	a b
3. Если число делится на два без остатка, то оно чётное.	a → b
4. Простое число больше единицы и имеет только два натуральных делителя.	а ˄ b
5. «Пять» больше единицы, но не простое число.	а ˄ ~ b

Самопроверка: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок

Для самопроверки выделите столбец «формула» и измените цвет шрифта

Суждение	Формула
1. Когда придёт весна, то станет тепло и растает весь снег.	a → ( b ˄ с)
2. Если число больше единицы и имеет только два натуральных делителя, то оно является простым.	( а ˄ b) → c
3. студент получит зачёт-автомат по логике, только если он будет посещать занятия и правильно выполнит все задания.	a ↔ ( b ˄ с)
4. Если болезнь запущена, то её трудно излечить. Однако, если болезнь не запущена, то её трудно распознать, но её не трудно излечить.	(а → b ) ˄ ~ a → (c ˄ ~b)

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Значение истинности сложных суждений определяется с помощью таблиц истинности, где буквы a, b, c – переменные, обозначающие простые суждения; буква «и» обозначает истину, а «л» — ложь.

а	b	а ˄ b	а ˅ b	а b	a → b	a ↔ b	~а	~ b
и	и	и	и	л	и	и	л	л
и	л	л	и	и	л	л	л	и
л	и	л	и	и	и	л	и	л
л	л	л	л	л	и	и	и	и

Также возможно обозначать истину нулём «1», а ложь единицей «0».

а	b	а ˄ b	а ˅ b	а b	a → b	a ↔ b	~а	~ b
1	1	1	1	0	1	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
0	0	0	0	0	1	1	1	1

1. КОНЪЮНКЦИЯ а ˄ b или а & b

Конъюнкция будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны.

2. ДИЗЪЮНКЦИЯ а ˅ b

Сложное суждение истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых суждений, и ложно, если оба простых суждения ложны.

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ

Сложное суждение истинно, если истинно лишь одно из составляющих его простых суждений, так как элементы сложной дизъюнкции исключают друг друга.

4. ИМПЛИКАЦИЯ a → b

Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ a ↔ b или a ≡ b

Сложное суждение, соединённое эквиваленцией, истинно только в тех случаях, когда составляющие его простыt суждения, либо оба истинны, либо оба ложны.

6. ОТРИЦАНИЕ ~а или а или ~ b ; b ;

Если а истинно, то его отрицание ложно. Если а ложно, то не -а (~а) – истинно.

Если b истинно, то его отрицание ложно. Если b ложно, то не — b (~ b) – истинно.

Если отрицание стоит внутри суждения перед связкой «есть», то мы имеем дело с простым отрицательным суждением типа «Черепахи не летают». Если же отрицание присоединяется к суждению снаружи – «Неверно, что черепахи летают», то мы имеем дело с логической связкой, преобразующей простое суждение в сложное.

Если знак отрицания стоит непосредственно перед а или b, то есть ~а; ~ b, то отрицание применяется только к одному суждению.

Если знак отрицания стоит перед скобкой ~( a → b ), то отрицанию будет подвержена операция, указанная в скобках. В данном примере, ̶ это отрицание импликации. Сначала выполняется импликация, затем результат подвергается отрицанию.

Выполнима та формула, которая может принимать по крайней мере одно значение «истина».

Тождественно-истинная формула та, которая при любых комбинациях значений для входящих в неё переменных принимают значение «истина» (иначе она называется законом логики).

Тождественно-ложная формула та, которая принимает только значение «ложь» (иначе ‒ противоречие).

!!! Следует помнить, что логику интересует не содержание, а исключительно форма мысли!

Устанавливать истинность сложных суждений в логике, опираясь на здравый смысл или жизненный опыт, или обращение к действительности, ̶ неправильно!

Формально-логические связки не в состоянии учитывать многих смысловых оттенков естественного языка. Значения истинности некоторых сложных суждений достаточно близки к здравому смыслу, но другие могут показаться странными. Поэтому то, то с точки зрения содержания может выглядеть непривычно, с точки зрения формы будет являться правильным.

СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Чтобы проверить сложное суждение с помощью таблицы истинности, необходимо грамотно её составить.

Например, нужно проверить суждение: «Если пойдёт дождь, то дорога будет мокрая».

1. Определим все простые суждения, составляющие данное сложное высказывание и узнаем количество переменных n :

а – пойдёт дождь; b – дорога будет мокрая

Получилось две переменных (а, b), соединённых союзом «если, то»

2. Количество строк (k) в таблице определяется по формуле: k = 2n , где n – количество переменных (то есть количество простых суждений, составляющих сложное).

В данном примере k = 22 = 4 Значит будет четыре строчки в таблице.

3. Количество столбцов в таблице будет зависеть от количества операций (логических связок) в сложном суждении.

Сначала в первых столбцах распределяются все возможные значения истины и лжи для переменных.

В данном примере две переменные, следовательно, четыре строки.

В самом правом столбце (b) чередуют «и» и «л» по одному, начиная всегда с «истины»

Во втором справа столбце (а) чередуют подряд два значения «и» и два значения «л», начиная всегда с «истины».

Затем направо выписывают логические формы всех сложных суждений, входящих в рассматриваемое суждение. В данном примере указана одна логическая связка «если, то» – импликация.

а	b	a → b
и	и
и	л
л	и
л	л

Осталось определить значения истинности для импликации. Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.

а	b	a → b
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

1. Дождь пошёл, дорога мокрая. а – истина; b – истина. Следовательно, если а, то b (a → b ) – истина

2. Дождь пошёл, но дорога не стала мокрая. а – истина; b – ложь. Следовательно, если а, то b (a → b ) – ложно. Невозможно, чтобы причина была, а следствие не наступило.

3. Дождь не пошёл, но дорога мокрая а – ложь; b – истина. Следовательно, a → b –истина. Дорога может быть мокрой и по другой причине.

4. Дождь не пошёл и дорога не намокла. а – ложь; b – ложь. Следовательно, a → b – истина.

Если сложное суждение составлено из трёх простых, то есть состоит из трёх переменных (а, b, c), то таблица истинности, включающая все возможные комбинации истинности или ложности её переменных, будет состоять из 23 = 8 строк.

Алгоритм распределения значений «и» и «л» для трёх переменных таков:

а	b	с	Начинаем распределять значения с крайнего правого столбца (с) и распределяем значения «и» и «л» попеременно, начиная с «истины». Затем распределяем значения во втором столбце справа (b), распределяем значения «и» и «л», чередуя подряд по два значения «и», затем по два значения «л»; затем опять два значения «и» и два значения «л». В крайнем левом столбце (а) чередуем «и» и «л», чередуя подряд сначала четыре значения «и» и затем четыре значения «л»
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

Упражнения:

1. Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки: « Если ты сможешь доказать мне свои добрые намерения, то я поверю тебе или же мне придётся вызвать полицию и обвинить тебя в лжесвидетельстве» (Г. Каттнер. Источник миров).

Выпишем все простые суждения, входящие в состав сложного высказывания:

а – ты сможешь доказать мне свои добрые намерения

b – я поверю тебе

с – мне придётся вызвать полицию

d – (мне придётся) обвинить тебя в лжесвидетельствовании.

Определим связки между элементами: если а, то b или с и d

( a → b ) ˅ ( c ˄ d )

Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки; составьте таблицу истинности для получившейся формулы.

« Законы становятся уважаемыми тогда и только тогда, когда созданы законы достойные уважения, а правительство не нарушает их».

1. Выпишем простые суждения, входящие в состав сложного высказывания:

а – законы становятся уважаемыми

b – созданы законы достойные уважения

с – правительство не нарушает их

2. Определим связки между элементами: а тогда и только тогда, когда b, а с

3. Запишем в виде логической формы: а ↔ (b ˄ с)

4. Определим сколько строк будет в таблице истинности по формуле: k = 23 = 8

Определим сколько столбцов будет в таблице истинности. Всего будет пять столбцов: три столбца для каждой переменной, для конъюнкции b ˄ с; и для эквиваленции а ↔ (b ˄ с)

а	b	с	b ˄ с	а ↔ (b ˄ с)
и	и	и	и	и
и	и	л	л	л
и	л	и	л	л
и	л	л	л	л
л	и	и	и	л
л	и	л	л	и
л	л	и	л	и
л	л	л	л	и

5. Составим таблицу истинности.

3. Самопроверка. Запишите суждение в виде логической формы, используя логические связки. Составьте таблицу истинности для получившейся формулы: « Если бы на дороге были пробки, то мы бы опоздали на поезд, но не было пробок на дороге и мы не опоздали на поезд».

Для самопроверки выделите формулу и таблицу, и измените цвет текста (а → b ) ˄ (~ a ˄ ~ b )

Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 1347 | Нарушение авторских прав | Мы поможем в написании ваших работ!
| Изречения для студентов