Эпюры внутренних силовых факторов при растяжении
Содержание статьи
Общие правила построения эпюр внутренних силовых факторов
Мы поможем в написании ваших работ!
Мы поможем в написании ваших работ!
Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
В общем случае при действии внешних нагрузок в поперечных сечениях элементов конструкции возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Q, продольная сила N и изгибающий момент M.
Продольная сила N в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось балки всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Поперечная сила Q в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Изгибающий момент М в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Для определения внутренних силовых факторов используется метод сечений. При построении эпюр необходимо руководствоваться правилами знаков поперечных, продольных сил и изгибающих моментов (рисунок 2.1):
– продольная сила N считается положительной, если внешние силы относительно рассматриваемого сечения вызывают растяжение;
– поперечная сила Q считается положительной, если внешние силы относительно рассматриваемого сечения вращают отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки;
– изгибающий момент M считается положительным, если внешние нагрузки относительно рассматриваемого сечения растягивают нижние волокна.
Рисунок 2.1 – Правило знаков внутренних силовых факторов
Для определения величины опорных реакций применяют три известных уравнения статики:
, , ,
где А, В – моментные точки, которыми чаще всего выступают опоры.
Причем последнее уравнение служит для проверки правильности определения неизвестных реакций. Следует также отметить, что если в результате расчета реакция получается отрицательной, то ее направление на расчетной схеме изменяют на противоположное, а само значение реакции при этом будет положительным.При составлении уравнений статики для определения опорных реакций рекомендуется придерживаться правил, принятых в теоретической механике, или же следующих правил знаков:
— сила принимается положительной, если ее направление совпадает с выбранным положительным направлением координатной оси;
— моменты сил, вращающие в одну сторону относительно моментной точки, имеют одинаковый знак.
Построение эпюр внутренних силовых факторов в системах с жестким защемлением производится без определения реакций, действующих в заделке, путем рассмотрения характерных участков конструкции со свободного (незащищенного) конца.
Границами характерных участков балки являются опорные сечения, точки приложения сосредоточенных сил или моментов, начало и окончание действия распределенной нагрузки. В рамах к характерным сечениям относятся также узлы. На каждом участке проводится произвольное сечение на расстоянии z от начала соответствующего участка, составляются в общем виде выражения для действующих ВСФ с учетом правила знаков, и в полученные выражения подставляются границы характерного сечения. Полученные значения ВСФ откладываются на соответствующих эпюрах под характерными участками перпендикулярно нулевой линии.
После построения эпюр производится контроль правильности их построения:
а)Если участок балки нагружен сосредоточенной силой, то эпюра поперечных сил на данном участке будет очерчена прямой линией, параллельной нулевой линии эпюры. Изгибающий момент на участке будет изменяться по линейному закону.
б) На участках с распределенной нагрузкой эпюра очерчивается прямой наклонной линией, а эпюра – квадратной параболой с выпуклостью, направленной навстречу действию распределенной нагрузки. Если на участке с эпюра пересекает нулевую линию эпюры, то под этой точкой пересечения изгибающий момент будет иметь экстремальной значение.
в) В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q будет скачок на величину и в направлении действия этой внешней силы.
г) В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, на эпюре М будет наблюдаться скачок на величину и в направлении действия этого внешнего момента.
В отличие от балок, ось рамы представляет собой ломаную линию. Нулевые линии эпюр также представляют в виде ломаных линий, а каждый характерный участок можно рассматривать как отдельную балку. При определении величин продольных и поперечных сил применяется правило знаков, представленное на рисунке 2.1. При построении эпюр Q и N положительные ординаты откладывают с внешней стороны контура рамы, а отрицательные – внутри контура. При составлении выражения изгибающего момента руководствуются произвольным правилом знаков. Например, все нагрузки, которые будут сжимать наружные волокна рамы, принимают со знаком «плюс». В любом случае, эпюра М строится со стороны сжатого волокна, причем знак на ней не указывается. Также следует помнить, что узлы рамы должны находиться в равновесии, то есть сумма изгибающих моментов в примыкающих к узлу сечениях должна равняться нулю или, если в этом узле приложен внешний сосредоточенный изгибающий момент, значению этого момента.
Пример построения эпюр внутренних силовых факторов для балки
Исходные данные: расчетная схема балки с указанием численных величин нагрузок и линейных размеров.
Требуется: построить эпюры внутренних силовых факторов.
В поперечных сечениях балки возникают два ВСФ: поперечная сила (Q) и изгибающий момент (M). Вычерчиваем заданную балку с указанием всех нагрузок и линейных размеров. Определяем реакции опор.
;
;
;
;
Проверка правильности определения реакций:
.
Разбиваем балку на участки, на каждом из которых проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии z от начала соответствующего участка (см. рисунок 2.2, а). Изображаем нулевые линии для построения эпюр поперечных сил (эпюра Q) и эпюры изгибающего момента (эпюра М). Записываем в общем виде выражения для определения ВСФ для каждого участка балки и при помощи полученных уравнений рассчитываем их численные значения в характерных сечениях.
Рисунок 2.2 – Расчетная схема балки и эпюры внутренних силовых факторов
1 участок: .
;
.
2 участок: .
;
Так как на этом участке эпюра Q пересекает нейтральную линию, то в этой точке пересечения изгибающий момент будет иметь экстремальное значение:
;
откуда ;
.
3 участок: .
;
Полученные точки соединяем линиями, замыкающими поле эпюры. В поле эпюры в кружке ставим знак рассматриваемого внутреннего силового фактора и наносим штриховку. Линии штриховки перпендикулярны нулевой линии эпюры (рисунок 2.2, б, в).
Пример построения эпюр внутренних силовых факторов в раме
Исходные данные: расчетная схема рамы с указанием численных величин нагрузок и линейных размеров.
Требуется: построить эпюры внутренних силовых факторов.
Вычерчиваем заданную раму (рисунок 2.3, а) с указанием всех нагрузок и линейных размеров в численном виде. Определяем реакции опор:
;
;
;
;
;
.
Проверка правильности определения реакций:
.
Разбиваем раму на участки, на каждом из которых проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии z от начала соответствующего участка (см. рисунок 2.3, а). Изображаем нулевые линии для построения эпюр нормальных (эпюра N) и поперечных (эпюра Q) сил, эпюры изгибающего момента (эпюра М).
Рисунок 2.3 – Расчетная схема рамы и эпюры внутренних силовых факторов
Записываем в общем виде выражения для определения ВСФ для каждого участка рамы и при помощи полученных уравнений рассчитываем их численные значения в характерных сечениях рамы.
1 участок: .
;
;
.
2 участок: .
;
;
.
3 участок: .
;
;
.
4 участок: .
;
;
Так как на четвертом участке эпюра Q пересекает нулевую линию, требуется провести исследование на экстремум:
;
откуда ;
.
Строим эпюры поперечных и продольных сил, изгибающих моментов (рисунок 2.3, б−г). Проверяем равновесие узлов рамы (рисунок 2.3, д) – узлы уравновешены.
3 Расчетно-проектировочное задание №3. Расчет статически определимой балки при изгибе
Источник
Эпюры внутренних силовых факторов
При выполнении расчетов на прочность приходится отыскивать опасные сечения, т. е. сечения стержня с наибольшими значениями внутренних силовых факторов. Это удобно делать с помощью графиков, показывающих изменение внутренних силовых факторов по длине стержня. Такие графики называются эпюрами внутренних силовых факторов.
Для каждого внутреннего силового фактора строится отдельная эпюра, при построении которой учитываются только те внешние силы и (или) моменты, от которых этот внутренний силовой фактор возникает.
При построении эпюр внутренних силовых факторов следует иметь в виду, что координатные оси х, у и z, относительно которых определяются внутренние силовые факторы, являются «плавающими». Их последовательно перемещают по контрольным сечениям по ходу построения эпюры.
Величину внутренних силовых факторов в любом сечении (ординату эпюры) определяют из уравнений равновесия.
Поперечная сила Qy в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня.
Аналогично определяются Nz и Qx.
Изгибающий момент Мх в сечении равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения. Аналогично определяются Му и Т(Мг).
При суммировании сил или моментов, действующих на оставленную часть стержня, надо строго руководствоваться правилами знаков, которые сведены в табл. 2.
Следует отметить, что правила знаков, представленные в данной таблице справедливы для любой части стержня, слева или справа от сечения.
Общими действиями при построении эпюр внутренних силовых факторов являются:
- 1) деление стержня на участки, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов;
- 2) определение опорных реакций (при необходимости);
- 3) проведение на каждом участке одного-двух контрольных сечений, в которых определяют внутренние силовые факторы методом сечений;
- 4) графическое оформление эпюр, при этом ординаты эпюры откладывают перпендикулярно оси этой эпюры в местах расположения соответствующих сечений.
При построении эпюр внутренних силовых факторов следует иметь в виду, что координатные оси х, у и z, относительно которых определяются внутренние силовые факторы, являются «плавающими». Их последовательно перемещают по контрольным сечениям по ходу построения эпюры.
Пример 1. Для консольной балки (рис. 5, а) построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх.
1. Построение эгпоры Qy. Следует иметь в виду, что эпюру Qy строят по участкам. Разбиваем балку на три участка. Построение эпюры для консольной балки выполняем со свободного конца.
На первом участке проводим произвольную секущую плоскость. Отбрасываем левую часть балки. Действие отброшенной левой части балки на правую заменим внутренними силовыми факторами — поперечной силой Qy и изгибающим моментом (рис. 5, б).
Составляем условия равновесия отсеченной части балки и определяем величину и соответствующий знак внутренних силовых факторов (см. правила знаков, приведенные в табл. 2 в конце раздела).
Итак, I участок: Qy = 2F (распределенная нагрузка на участке отсутствует, следовательно, поперечная сила на данном участке постоянна).
Условимся положительные значения поперечной силы Qy откладывать выше оси стержня, а отрицательные значения откладывать ниже оси эпюры.
Последовательно проводим произвольные сечения на втором и третьем участках (рис. 5, в, г) и определяем значения Qy на этих участках:
II участок: Qy = 2F (поперечная сила на участке постоянна);
III участок: Qy = 2F — F = F (поперечная сила на участке постоянна).
Построение
Строим эпюру поперечных сил Qy (рис. 5, д).
Затем эпюру Qy проверяем по «скачкам»: в сечениях А и С на эпюре имеются «скачки», равные соответственно внешним силам 2F и F.
2. Построение эпюры Мх. Эпюру изгибающих моментов строим по характерным точкам. В нашем случае это точки А, В,
В’,СкД.
Обратите внимание: если в точке приложен сосредоточенный момент, то в непосредственной близости от этой точки по ходу построения эпюры выполняют два контрольных сечения: «до» и «после» этого момента (т. е. такую точку при построении эпюр рассматривают дважды).
Определяем значения изгибающих моментов в намеченных точках:
Рис. 5. Построение эпюр для консольной балки: а) расчетная схема; б) первый участок, правая отсеченная часть; в) второй участок, правая отсеченная часть; г) третий участок, правая отсеченная часть; ё) эпюра изгибающих моментов
По полученным результатам строим ЭМХ (рис. 5, е). Условимся положительные значения изгибающего момента Мх откладывать выше оси стержня, а отрицательные значения откладывать ниже этой оси (можно сказать, что эпюра изгибающих моментов Мх строится на «сжатых волокнах»).
Проверяем наличие на эпюре Мх «скачка» на величину 3Ft в сече-нии В, где приложен сосредоточенный момент.
Таблица 2
Правила знаков при построении эпюр внутренних силовых факторов
Внутренние силовые факторы | Определение ВСФ в сечении | Правила знаков |
Продольная сила N © О F ‘ -‘*N N Н * | Продольная сила N в рассматриваемом сечении стержня численно равна (а по направлению противоположна) сумме проекций на ось Z всех сил, действующих на отсеченную часть стержня: N = ? (Fzтс) | Продольная сила N:
|
Поперечная сила Qy F|E3tQ/Qr|E3lr | Поперечная сила Qy в рассматриваемом сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на отсеченную часть балки, на ось у, перпендикулярную к продольной оси балки Q„ — ? (Fv °IC) | Поперечная сила Qy:
|
Окончание табл. 2
Внутренние силовые факторы | Определение ВСФ в сечении | Правила знаков |
Изгибающий момент Мх 1 | Изгибающий момент Мх в рассматриваемом сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих на отсеченную часть балки, относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения: Мх=5>, (F0TC) | Изгибающий момент Мх:
|
Крутящий момент Т © г | Крутящий момент Т в рассматриваемом сечении стержня численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на отсеченную часть стержня, относительно оси z, проходящей вдоль оси стержня: Т = I mz (F”c) | Крутящий момент Т:
|
Источник
Растяжение — сжатие.
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник