Напряжение в наклонных сечениях при растяжении

При растяжении бруса наклонные сечения, как и поперечные, остаются плоскими и параллельными. Следовательно, внутренние силы распределены по наклонным сечениям равномерно.

При растяжении:

При сжатии: .

Напряжения в наклонных площадках наблюдаются, если мысленно «разрезать» стержень, растягиваемый силами P, наклонной плоскостью под углом к поперечному сечению (рис. 2.2, а), проходящей через точку K, и отбросить правую часть.

Внешняя нормаль к наклонномусечению будет составлять с осью угол . Действие отброшенной правой части стержня на левую часть заменим внутренними усилиями (рис. 2.2, б). Чтобы левая часть стержня находилась в равновесии, в каждой точке наклонного сечения стержня должно возникнуть продольное противодействующее усилие. Равнодействующая внутренних усилий N равна внешней силе P.

Допустим, внутренние усилия равномерно распределены по площади наклонного сечения . Тогда полное напряжение наклонного сечения в каждой точке будет равно:

где – нормальное напряжение, возникающее в точках (в том числе и в точке К), но в поперечном сечении стержня (рис. 2.1, в).

Разложим полное напряжение в наклонном сечении (p), возникающее в некоторой точке К, на две составляющие – нормальное ( ) и касательное ( ) напряжения (рис. 2.2, г). Они будут равны:

; .

Проследим, как будет меняться каждое из этих напряжений с изменением угла наклона сечения, проходящего через точку К, от нуля до 90̊.

При увеличении угла нормальное напряжение в точке К будет постепенно уменьшаться от своего максимального значения ( ) до нуля. Касательное напряжение при этом будет сначала возрастать от нулевого до максимального значения ( ) при , а затем убывать и при угле снова станет равным нулю.

Следовательно, наибольшее нормальное напряжение действительно возникает в точках поперечного сечения стержня. В продольном сечении оно равно нулю. Следовательно, продольные волокна не давят друг на друга.

Наибольшие касательные напряжения возникают в наклонных сечениях, расположенных под углом 45̊ к оси стержня. В поперечном и продольном сечениях они равны нулю.

Теорема Максвелла.

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии к систе­ме приложена сила P1=1, а во втором — сила P2=1 (рис. 5.12).

Обозначим перемещения, вызванные единичными силами или моментами (т. е. силами Р=1 или моментами М=1), знаком δ в отличие от перемещений, вызванных силами и моментами, не рав­ными единице, обозначаемых знаком ∆. В соответствии с этим пере­мещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы. P2 в первом состоянии (т. е. вызванное силой P1=1) обозначим δ21. а перемещение по направлению единичной силы P1 во втором состоянии обозначим δ12 (рис. 5.12).

На основании теоремы о взаимности работ для рассматриваемых двух состояний

но так как

То или в общем случае действия любых единичных сил (5.21)

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой. Для иллюстрации теоремы Максвелла в качестве примера рас смотрим два состояния балки, изображенной на рис. 5.13.

В первом состоянии на балку действует сила Р=1, а во втором — момент Угол поворота ϑa, вызванный силой Р=1, на основании формулы (5.21) должен быть численно равен прогибу yl вызванному моментом M=1, т. е. ϑa=yl

Определим значения ϑa и yl методом начальных параметров. В первом состоянии (рис. 5.13, а)

во втором состоянии (рис. 5.13,б)

При M=P=1

Т.е

Единичные перемещения (например, перемещения, вызванные отвлеченной единичной силой Р=1 или отвлеченным единичным моментом М=1) имеют размерности, отличные от обычных размер­ностей перемещений. Размерность единичного перемещения представ­ляет собой размерность отношения перемещения (не единичного) к вызвавшей его нагрузке. Так, например, в рассмотренном при­мере единичный угол поворота ϑa, вызванный силой P=1, выражен в 1/кН, единичный прогиб yl, вызванный моментом M=1, выражен в м/кН*м, или 1/кН, т. е. в тех же функциях, что и угол ϑa.

Билет №14.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Нормальные напряжения в поперечном сечении центрально растянутого (сжатого) стержня

Общие понятия о растяжении (сжатии) введены в и. 1.6. Определение продольных сил при растяжении (сжатии) подробно рассматривалось в п. 3.3. Перейдём к определению напряжений. В сечении т-п центрально растянутого стержня методом сечений (рис. 4.1) находим продольную силу N=F.

Рис. 4.1

Bn. 1.5 установлена зависимость

N = j ctz • dA.

A

Поскольку в соответствии с гипотезой Бернулли поперечные сечения при растяжении (сжатии) остаются плоскими и перемещаются поступательно, волокна, параллельные оси бруса, удлиняются (укорачиваются) одинаково и в них возникают одинаковые нормальные напряжения, то есть в поперечном сечении = o = const. Тогда

получим

В поперечном сечении при центральном растяжении (сжатии)

Нормальное напряжение а принимаем положительным, если оно растягивающее, и отрицательным, если — сжимающее.

Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии). Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим центрально растянутый стержень постоянного поперечного сечения (рис. 4.2, а). Найдём напряжения на площадке, наклонённой к поперечному сечению под углом а. Этот угол считаем положительным, если его отсчитываем от поперечного сечения до наклонной площадки (от оси стержня до внешней нормали па к наклонной площадке) против часовой стрелки.

Используем метод сечений. Плоскостью, совмещённой с наклонной площадкой, рассечем стержень на две независимые части. Отбросим одну часть стержня. Заменим действие отброшенной части стержня на оставшуюся полными напряжениями ра на наклонной площадке. Площадь поперечного сечения обозначим А, а наклонного

сечения примем Аа=-. Запишем условие равновесия оставлен-

cosa

ной для рассмотрения части стержня (рис. 4.2, 6) и найдём ра:

Рис. 4.2

Учитывая формулу (4.1), окончательно получим

Разложим полное напряжение ра (4.2) на нормальную ста и касательную та составляющие (рис. 4.2, а):

Правила знаков для aa сохраним те же, что и для а. Касательное напряжение та считаем положительным, если до совмещения с ним внешнюю нормаль па к площадке надо повернуть на 90° по часовой стрелке (на рис. 4.2, а а, аа, та изображены положительными).

На рис. 4.3 изображено наклонное сечение, у которого a а осталось положительным, а напряжение та стало отрицательным. Рассечем стержень двумя параллельными наклонными сечениями (рис. 4.4), на этих наклонных площадках действуют нормальные напряжения aa и касательные напряжения та. Двум видам напряжений соответствуют два вида деформаций: удлинение (укорочение) и сдвиг. Двум видам деформаций соответствуют два вида разрушения: отрыв и срез.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

При росте угла а от 0 до 90°, как следует из формулы (4.3), aa убывает от а до 0. При росте угла а от 0 до 45°, как следует из формулы (4.4), та растёт от 0 до —; при дальнейшем росте угла а от 45

до 90°, та убывает от ^ до 0. Таким образом, при а = 45° величина та

достигает максимума, равного Этот факт объясняет появление

линий скольжения — линий Людерса — Д.К. Чернова в стальном образце при растяжении во время площадки текучести и в зоне упрочнения, а также появление трещин в чугунном образце при сжатии (об этом более подробно речь пойдет в следующей главе).

Определим касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках (рис. 4.5, а). Касательные напряжения на площадке, наклонённой под углом а к поперечному сечению, определяем по формуле (4.4).

Найдём касательное напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной:

Формула (4.5) и есть закон парности касательных напряжений. Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку. На рис. 4.5, а та > 0, а та+90°

Заметим, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках либо расходятся (рис. 4.5, а), либо сходятся (рис. 4.5, б) к вершине прямого угла, образованного этими площадками (другая формулировка закона парности касательных напряжений). На рис. 4.5, б таа+90° > 0.

Исследуя изломы образцов после разрыва при растяжении, экспериментаторы обнаружили, что пластичные материалы разрушаются не только по плоскости, перпендикулярной растягивающей силе, но и по плоскостям, направленным под углом около 45° к направлению растяжения. Почему? Рассмотрим равновесие объема, мысленно вырезанного двумя плоскостями из стержня, находящегося под действием растягивающей силы Е. Одна плоскость перпендикулярна оси стержня, другая наклонена под углом а к первой (рис. 2.14, а).

Рис. 2.14. К определению напряжений на наклонных площадках при одноосном растяжении

Данный объем находится в равновесии. Следовательно, имеет место равенство Fn + Ft= F, где FnnFt— векторы сил, действующих на наклонной плоскости сечения по нормали и по касательной к ней; Fn = Fcosoc, Ft = fsina.

Площадь наклонного сечения Аа= А0 / cosa.

Обозначим F/ А0 = о, и определим нормальное напряжение на площадке Аа:

Аналогично определим касательное напряжение на площадке Аа:

Касательное напряжение ха принимает экстремальное значение на плоскости, расположенной под углом a = к / 4. Действительно,

dxa / da = Gj cos2a = 0, или cos2a = 0; следовательно, угол a = n / 4. Максимальное касательное напряжение равно хт = l/2ol», а нормальное напряжение на этой площадке оп = 1/2р1 (рис. 2.14, б).

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии определим, используя принцип независимости действия различных напряжений в области применимости закона Гука. Соответственно, будем считать, что в случае плоского напряженного состояния материала в наклонном сечении действие каждого из напряжений о, и о2 суммируются алгебраически;

Символами aa) и та1 обозначены нормальное и касательное напряжения на площадке а от действия о1? а символами оа2 и та2 — от действия о2.

При определении значений оа2 и та2 по (2.13) и (2.14) вместо угла а следует принять угол (а — к / 2), учитывая, что вектор напряжения о2 повернут относительно вектора напряжения о, на угол (—п / 2).

Суммируя оа1 и оа2, та1 и та2, получим значение са и та:

Выполнив подстановку
, получим

Анализ зависимостей формул (2.15) и (2.16) [1][2]

При расчетах напряжений по формулам (2.15) и (2.16) нормальные растягивающие напряжения считают положительными, а сжимающие — отрицательными.

? Задача 2.18

Определить оа и та в сечении под углом а к площадке действия о,:

Oj = 100 МПа, с2 = 50 МПа, о3 = 0, а = 30°.

Решение

3. Напряжение на площадке, расположенной под углом 45° к направлению главных нормальных напряжений, равно нулю: п = 1/2(c7i + а2) = 0 в том случае, если о2 = —Oj. При этом на данной площадке действует только касательное напряжение, равное %,= ‘/2 (о,+с2).

Чистым сдвигом называется напряженное состояние, при котором на площадках элементарного объема действуют только касательные напряжения т.

Рассмотрим равновесие элементарного объема, на одной из площадок которого действует только напряжение та = гт, а ая = 0 (рис. 2.15, а).

Рис. 2.15. Свойство парности касательных напряжений

Для равновесия элементарного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на ось х была равна нулю: 1LFX = 0. Это условие выполняется, если на площадке у, противоположной площадке а, действует напряжение ту = та, имеющее противоположное направление.

Из условия равенства нулю суммы моментов ?/я0 = 0 всех сил относительно точки 0 следует, что на площадке 5 действует напряжение т§ = та, вектор которого направлен к плоскости вектора напряжения та:

Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось у получим, что на площадке (3, противоположной площадке 5, действует напряжение = т§, но имеющее противоположное направление.

Таким образом, касательные напряжения на площадках элементарного параллелепипеда (ортогональных одной и той же грани этого параллелепипеда) равны по модулю и направлены так, что образуют две пары, причем векторы каждой пары направлены к общей вершине. Это свойство называется свойством парности касательных напряжений.

Покажем, что свойство парности касательных напряжений имеет место для любой площадки. Определим касательное напряжение на площадке ВС, перпендикулярной площадке Л В (рис. 2.15, б). Для этого в формулах (2.15) и (2.16) вместо угла а подставим угол (3 = к / 2 + а.

На площадке ВС касательное напряжение Тр = — У^с, — о2) sin2a по модулю равно касательному напряжению та. Знак «—» указывает на то, что направление вектора Тр противоположно направлению площадки ВС.

Аналогично определим касательное напряжение на площадке CD, для нее угол у = к + а. Напряжение ту = !/2(ai — a2) sin2a и, следовательно, ту = та. Знак «+» указывает, что направление вектора ту совпадает с направлением площадки CD. Продолжив анализ, получим подтверждение закона парности касательных напряжений для любого произвольно взятого элементарного объема.

• ? Задача 2.19
• 1. Определить са и та при а, = 30 МПа, а, = 30 МПа, а3 = 0.

Решение

Вывод

Если а, = с2, а о3 = 0, то касательные напряжения та = 0 при любом значении а. Следовательно, в этом случае все площадки в плоскости (a,…a2) главные.

2. Определить оа и ха при а, = 30 МПа, а2 = -30 МПа, о3 = 0, a = 45°.

Решение

Если о, = —о2, то при плоском напряженном состоянии на площадке под углом а = 45° действуют только касательные напряжения; причем значение касательного напряжения максимально и равно по модулю нормальному напряжению:

Для анализа объемного напряженного состояния используем принцип независимости напряжений и деформаций от последовательности приложения нагрузок. Напряженное состояние произвольного элементарного объема можно представить тензором напряжений:
(рис. 2.16, а).

В символе т буква х означает, что данное напряжение действует на площадке, перпендикулярной осих; буква у указывает, что вектор напряжения направлен вдоль оси у.

На условиях равновесия элементарных объемов в плоскости главных напряжений (aj…o2) третье главное напряжение о3 не влияет (см. рис. 2.14 и 2.15). Поэтому полученные ранее выводы, относящиеся к плоскому напряженному состоянию, можно считать справедливыми и в случае сложного напряженного состояния. Соответственно, объемное напряженное состояние можно рассматривать как сумму трех плоских напряженных состояний

Анализируя каждое из них с помощью формулы (2.16), можно сделать вывод, что любое объемное напряженное состояние можно представить как напряженное состояние элементарного объема, образованного тремя площадкам с главными напряжениями а, > а2 > а3 (рис. 2.16, б).

Рассматривая плоские напряженные состояния G[ и о2, съ, и а3, Oj…o3, получим, что максимальные касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к каждой из пар главных напряжений, и равны

Рис. 2.16. Тензор напряжений элементарного объема (а) и эквивалентное ему напряженное состояние, представленное главными напряжениями (б)

z