Напряжения в наклонных площадках при растяжении или сжатии

При растяжении бруса наклонные сечения, как и поперечные, остаются плоскими и параллельными. Следовательно, внутренние силы распределены по наклонным сечениям равномерно.

При растяжении:

При сжатии: .

Напряжения в наклонных площадках наблюдаются, если мысленно «разрезать» стержень, растягиваемый силами P, наклонной плоскостью под углом к поперечному сечению (рис. 2.2, а), проходящей через точку K, и отбросить правую часть.

Внешняя нормаль к наклонномусечению будет составлять с осью угол . Действие отброшенной правой части стержня на левую часть заменим внутренними усилиями (рис. 2.2, б). Чтобы левая часть стержня находилась в равновесии, в каждой точке наклонного сечения стержня должно возникнуть продольное противодействующее усилие. Равнодействующая внутренних усилий N равна внешней силе P.

Допустим, внутренние усилия равномерно распределены по площади наклонного сечения . Тогда полное напряжение наклонного сечения в каждой точке будет равно:

где – нормальное напряжение, возникающее в точках (в том числе и в точке К), но в поперечном сечении стержня (рис. 2.1, в).

Разложим полное напряжение в наклонном сечении (p), возникающее в некоторой точке К, на две составляющие – нормальное ( ) и касательное ( ) напряжения (рис. 2.2, г). Они будут равны:

; .

Проследим, как будет меняться каждое из этих напряжений с изменением угла наклона сечения, проходящего через точку К, от нуля до 90̊.

При увеличении угла нормальное напряжение в точке К будет постепенно уменьшаться от своего максимального значения ( ) до нуля. Касательное напряжение при этом будет сначала возрастать от нулевого до максимального значения ( ) при , а затем убывать и при угле снова станет равным нулю.

Следовательно, наибольшее нормальное напряжение действительно возникает в точках поперечного сечения стержня. В продольном сечении оно равно нулю. Следовательно, продольные волокна не давят друг на друга.

Наибольшие касательные напряжения возникают в наклонных сечениях, расположенных под углом 45̊ к оси стержня. В поперечном и продольном сечениях они равны нулю.

Теорема Максвелла.

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии к систе­ме приложена сила P1=1, а во втором — сила P2=1 (рис. 5.12).

Обозначим перемещения, вызванные единичными силами или моментами (т. е. силами Р=1 или моментами М=1), знаком δ в отличие от перемещений, вызванных силами и моментами, не рав­ными единице, обозначаемых знаком ∆. В соответствии с этим пере­мещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы. P2 в первом состоянии (т. е. вызванное силой P1=1) обозначим δ21. а перемещение по направлению единичной силы P1 во втором состоянии обозначим δ12 (рис. 5.12).

На основании теоремы о взаимности работ для рассматриваемых двух состояний

но так как

То или в общем случае действия любых единичных сил (5.21)

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой. Для иллюстрации теоремы Максвелла в качестве примера рас смотрим два состояния балки, изображенной на рис. 5.13.

В первом состоянии на балку действует сила Р=1, а во втором — момент Угол поворота ϑa, вызванный силой Р=1, на основании формулы (5.21) должен быть численно равен прогибу yl вызванному моментом M=1, т. е. ϑa=yl

Определим значения ϑa и yl методом начальных параметров. В первом состоянии (рис. 5.13, а)

во втором состоянии (рис. 5.13,б)

При M=P=1

Т.е

Единичные перемещения (например, перемещения, вызванные отвлеченной единичной силой Р=1 или отвлеченным единичным моментом М=1) имеют размерности, отличные от обычных размер­ностей перемещений. Размерность единичного перемещения представ­ляет собой размерность отношения перемещения (не единичного) к вызвавшей его нагрузке. Так, например, в рассмотренном при­мере единичный угол поворота ϑa, вызванный силой P=1, выражен в 1/кН, единичный прогиб yl, вызванный моментом M=1, выражен в м/кН*м, или 1/кН, т. е. в тех же функциях, что и угол ϑa.

Билет №14.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Напряженное состояние в точке характеризуется действием на нее множества нормальных и касательных напряжений, возникающих на элементарных площадках, которые можно провести через эту точку под разными углами.

Возьмем центрально-растянутый элемент и выделим в его объеме точку к, представив точку в виде элементарного кубика, расположенного так, что его вертикальные грани совпадают с поперечными сечениями бруса (рис. 8.18а), выделим этот кубик (рис. 8.186) и покажем его напряженное состояние.

Рис. 8.18. Напряженное состояние при одноосном растяжении: а) точка к в брусе в виде элементарного кубика; б) напряженное состояние элементарного кубика; в, г) напряженное состояние части кубика, разделенного наклонной площадкой

В соответствии с гипотезой о ненадавливаемости волокон, если представить брус состоящим из множества очень тонких продольных волокон, то эти волокна под действием нагрузки будут растягиваться, не оказывая друг на друга силового воздействия (т.е. они не давят друг на друга) и в продольных волокнах возникают только нормальные напряжения. Соответственно, на грани выделенного элементарного кубика, совпадающие с поперечным сечением бруса, прикладываем нормальные напряжения о, других напряжений на этих гранях нет. На остальных гранях кубика напряжения также отсутствуют.

Проведем в выделенном кубике наклонную площадку, нормаль к которой 0-п находится под углом а к продольной оси бруса. Отбросим правую, от наклонной площадки, часть кубика. На левую часть кубика площадью dA действует сила равная o-dA. Чтобы левая часть продолжала сохранять равновесие необходимо приложить уравновешивающую силу p-dAa, которая действует на наклонной площадке (рис. 8.18в). Составляем условие равновесия: о-dA = p-dAa. Учитывая, что dAa = dA/ cos а, получаем:

где р — полное напряжение, действующее на наклонной площадке.

Раскладываем полное напряжение р на составляющие, действующие по нормали 0-п и по линии, совпадающей с наклонной плоскостью О-В (рис. 8.18а). Получаем:

подставив в формулы (8.19) значение р из формулы (8.18), получаем Go = р cos а = g cos а-cos а = a cos2 а; та = р sin а = a cos

a sin а = — sin 2а. Окончательно запишем:

2

Установим, как изменяются напряжения на наклонных площадках при различных углах их наклона:

при a = 0° (соответствует поперечному сечению бруса), учитывая, что cos2 0° = 1; sin 2 • 0° = 0, подставив в формулу (8.20), получаем оа= а; та = 0.

при а = 90° (соответствует продольному сечению) учитываем, что cos2 90° = 0; sin 2 • 90° = 0, подставив в формулу (8.20), получаем оа = 0; та = 0.

при а = 45°: учитываем, что cos2 45° = (V2/2)2 = 1/2; sin 2 • 45° = 1, подставив в формулу (8.20), получаем са= о / 2; та = а / 2.

Таким образом, установили, что при центральном растяжении (сжатии) наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса omax = N/ А. Наибольшие касательные напряжения возникают под углом 45° к продольной оси бруса

Рис. 8.19. Парность касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках: п, т — нормали к площадкам

Можно отметить, что если перейти от наклонной площадки в элементарном кубике, которая расположена под углом а, к наклонной площадке под углом а + 90° (рис. 8.19), это никак не отражается на абсолютных значениях касательных напряжений

Окончательно запишем |та| = |та+90°|. Это равенство отражает закон парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений — касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по модулю и направлены в противоположные стороны (либо к ребру, образуемому площадками, либо от ребра).

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что в любом наклонном сечении бруса при его растяжении (сжатии) одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения.

Рис. 8.20. Нормальные и касательные напряжения: а) нормальные напряжения в растянутом брусе; б) действие касательных напряжений на наклонной плоскости сжатого бруса; в) нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении центрально-сжатого элемента

Возникновение касательных напряжений в наклонных сечениях становится понятным, если представить, что наклонная плоскость разрезает брус (рис. 8.206), и тогда верхняя и нижняя часть бруса стремятся сдвинуться (соскользнуть) друг относительно друга по наклонной плоскости. Поскольку брус цельный, то такому соскальзыванию будут препятствовать касательные напряжения. Следует учитывать, что вместе с касательными напряжениями на наклонной плоскости действуют и нормальные напряжения (8.20в).

Если разрезать брус плоскостью а—а, перпендикулярной его оси (рис. 8.20а), то возникают только нормальные напряжения, которые препятствуют взаимному отрыву частей бруса друг от друга при растяжении (или при сжатии противодействуют деформации сжатия).

Изображенные на одном рисунке напряжения, относящиеся к разным частям бруса, всегда направлены в противоположные стороны, так напряжения а, относящиеся к верхней части, противодействуют реакции R, а относящиеся к нижней части, противодействуют силе F, то же самое видим и при действии касательных напряжений (рис. 8.20б).

Контрольные вопросы

1. При каких углах поперечного сечения к продольной оси в центрально-растянутом брусе нормальные напряжения достигают максимального значения?

• 2. Как действуют касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках?
• 3. Как вы считаете, бывают такие сечения в центральнорастянутом брусе, в которых нормальные напряжения равняются нулю?
• 4. При каких углах наклона поперечных сечений касательные напряжения достигают наибольших значений?