Правило знаков при растяжении

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.

Продольное растяжение — сжатие

1. Продольная сила.
2. Напряжения в поперечных сечениях бруса.
3. Продольные и поперечные деформации.
4. Диаграмма растяжения и сжатия.
5. Перемещения в поперечных сечениях бруса.
6. Напряжения в наклонных сечениях стержня. Закон парности касательных напряжений.
7. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

1. Продольная сила

Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная растягивающая (сжимающая) сила, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Стержень, работающий на растяжение – сжатие, принято называть брусом.

Растягивающие продольные силы считаются положительными, сжимающие – отрицательными.

Продольная сила представляет равнодействующую, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

При растяжении продольную силу следует считать положительной, а при сжатии – считать отрицательной.

Рис.7. Правило знаков при растяжении — сжатии

Для определения силы продольной силы  N используем  метод сечений. Затем составим уравнение равновесия в виде . После нахождения числовых значений строим эпюру продольных сил.

Эпюра внутреннего усилия — график изменения внутреннего усилия по длине бруса.

Цель построения эпюры — это определение  качественной и количественной картины деформации бруса, нахождение наиболее нагруженных участков или сечений.

В поперечном сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила, не перпендикулярная его оси, значение продольной силы N изменяется скачкообразно.

2. Напряжения в поперечных сечениях бруса

Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения бруса, является равнодействующей внутренних сил , действующих на бесконечно малые площадки поперечного сечения площадью А:

где  —  нормальное напряжение, Н/м2 = Па.

Если считать, что плоские поперченные сечения при растяжении смещаются параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими, то  (гипотеза Бернулли), тогда

 ,      .

В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения , равные отношению продольной силы N к площади поперечного сечения А.

После определения алгебраических значений   строится эпюра нормальных напряжений.

3. Продольные и поперечные деформации

Рис. 8. К определению продольных и поперечных деформаций

Брус  постоянного сечения площадью А,  длинной l0 под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину ,

где l0  – длина бруса при начальном (недеформированном) состоянии;

l1 – длина бруса при деформированном состоянии.

Приращение  – полное или абсолютное удлинение (если случай сжатия,    то – полное укорочение). Экспериментально установлено, что чем больше l0 , тем больше .

Наиболее удобной мерой деформации является относительное удлинение – величина абсолютной деформации, отнесенная к первоначальной длине стержня.

Относительное удлинение (линейная деформация):

, %.

При сжатии  называют относительным укорочением.

Экспериментально доказано, что при удлинении стержня в осевом направлении происходит уменьшение его поперечных размеров. Значит, при растяжении или сжатии возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня.

Предположим, что  первоначальная ширина бруса, то под действием сил  ширина уменьшится на величину , абсолютная деформация.

Относительная поперечная деформация: .

Минус указывает, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются.

Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона

.

Между напряжениями и малыми деформациями существует линейная зависимость, которая именуется законом Гука: нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации

,

где Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости).

Физический смысл модуль упругости Е – напряжение, которое вызывает деформацию  (удлинение стержня, равное первоначальной длине).

На основании вышеперечисленных формул запишем закон Гука в развернутом виде                          ,

 коэффициент продольной податливости бруса;

– жесткость поперечного сечения стержня при растяжении и сжатии.

4. Перемещения в поперечных сечениях бруса

Если продольная сила и площадь сечения зависят от координаты сечения, то

.

Перемещения какого-либо сечения на  участке бруса относительно неподвижного сечения равно сумме деформаций всех предыдущих  участков и деформации рассматриваемой части участка

.

В стержнях с заделкой за неподвижное сечение целесообразно принимать заделку.

Эпюра  связана с эпюрой :        .

5. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Расчеты на прочность

1. Метод расчета по допускаемому напряжению

При расчетах на прочность при растяжении или сжатии условие прочности запишется                                                                                                 (1)

Исходя из этого производят три вида расчетов:

1. проектный расчет. При этом расчете известны нагрузки, материал,  или коэффициент запаса прочности . Размеры поперечного сечения, которые бы обеспечивали прочность, определяются по формуле:

.

2. расчет по допускаемой нагрузке. Даны А, материал:         .
3. проверочный расчет. Даны N, материал, А, но требуется проверить соблюдение условий прочности по формуле (1). Если максимальное расчетное напряжение не превышает допустимое на 5%, то напряжение считают неопасным. Поперечное сечение бруса, в котором возникает наибольшее расчетное напряжение при растяжении или сжатии, называется опасным.

2. Метод расчета по запасам прочности

,    ,

где  – коэффициент запаса прочности.

Расчеты на жесткость

Условие жесткости при растяжении         .

Размеры сечения подбирают по ГОСТ 6636-69.