Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения
Содержание статьи
Презентация по математике на тему «Преобразование тригонометрических функций»
Инфоурок
› Математика ›Презентации›Презентация по математике на тему «Преобразование тригонометрических функций»
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Преобразования графиков тригонометрических функций Дмитриева Ольга Михайловна учитель математики ФДВП ТГМУ г.Владивосток
2 слайд
Описание слайда:
Задачи урока Повторить правила преобразований функций:
3 слайд
Описание слайда:
Задачи урока Построить графики тригонометрических функций с помощью преобразований
4 слайд
Описание слайда:
Свойства функции sin(x) x y 1 -1
5 слайд
Описание слайда:
Свойства функции cos(x) x y 1 -1
6 слайд
Описание слайда:
* График функции у = f (x+b) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-b) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+a получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (a) единиц вдоль оси ординат Преобразование графиков тригонометрических функций
7 слайд
Описание слайда:
у = sin(x+a) y = sin(x+π/6) 1 -1 π -π 2π
8 слайд
Описание слайда:
у = sinx + a 1)y= sin x + 1; 2)y= sin x — 2 1 -1 π -π 2π -2 y= sin x + 1 y= sin x — 2
9 слайд
Описание слайда:
* График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0<k<1) вдоль оси ординат Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения
10 слайд
Описание слайда:
Построение графиков y=k · sin x и y=k · cos x. 1)y=1/2sinx; 2)y=2,5cosx. 1 -1 -2.5 2.5 x y
11 слайд
Описание слайда:
* График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0<k<1) вдоль оси абсцисс Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения
12 слайд
Описание слайда:
Построение графика y = sin(kx), y = cos(kx) у х 1 -1 -π π y=sin2x T=π y=cos(x/2) T=4π
13 слайд
Описание слайда:
* Графики функций у = -f (kx) и у=-k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус — функция нечетная, поэтому sin(-kx) = — sin (kx) косинус -функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx) Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения
14 слайд
Описание слайда:
y x 3 -3 y=3sinx y=-3sinx Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=3sinx y=-3sinx
15 слайд
Описание слайда:
y x Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения 2 -2 y=2cosx y=-2cosx y=2cosx y=-2cosx
16 слайд
Описание слайда:
* График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-b/k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз ( при 0<k<1) вдоль оси абсцисс f ( kx+b) = f ( k( x+b/k)) Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения
17 слайд
Описание слайда:
y x y=cos(x+π/3) y=cos(2x+2π/3) y=cos(2x+2π/3) Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=cos2(x+π/3)
18 слайд
Описание слайда:
y x y=cos2x y=cos(2x+2π/3) y=cos(2x+2π/3) Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=cos2(x+π/3)
19 слайд
Описание слайда:
Вариант 1 y x
20 слайд
Описание слайда:
y x Вариант 2
21 слайд
Описание слайда:
y x Вариант 3
22 слайд
Описание слайда:
y x Вариант 4
23 слайд
Описание слайда:
y x Вариант 5
24 слайд
Описание слайда:
Гармоническая функция x y |a| -|a|
25 слайд
Описание слайда:
Графики y=A·f(k·x+m)+B. y x 1 -1 π 2π T=3π
26 слайд
Описание слайда:
Гармоническая функция x y
27 слайд
Описание слайда:
Загадка урока Что общего между: качелями музыкой и светом это колебательные процессы, которые описываются с помощью гармонической функции:
28 слайд
Описание слайда:
Загадка урока одними качели повыше — изменишь t (фазу) механических колебаний. п включи полную громкость — увеличишь a (амплитуду) колебаний воздуха. добавь красного цвета в палитру — уменьшишь k (частоту) электромагнитных колебаний.
29 слайд
Описание слайда:
Домашнее задание №719(2); №773(1); №729.
30 слайд
Описание слайда:
Спасибо за внимание.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Курс повышения квалификации
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Презентация к уроку по теме «Преобразование тригонометрических функций», которая позволяет выяснить изменения графиков тригонометрических функций в зависимости от коэффициентов путем сжатия, растяжения, сдвигов графика вдоль осей координат.
Описание свойств тригонометрических функций.
Построение гармонической функции. Межпредметная связь с физикой.
Презентация является дополнением к уроку. Позволяет наглядно увидеть, как происходит преобразование тригонометрических функций, помогает применить полученные знания при исследовании сложной тригонометрической функции.
Оставьте свой комментарий
Источник
?
: , *-* + : ? ! ? ! >>> mathprofi.com : >>> , , | , . , . , . , , , . . ? — , , . , , ? , , . /, , . , , ! ? , , . ! , . , , ! , , , , , .. , , , . , , , . , : , . , , . , . , . , . . . : , . , , : . , , . , 🙂 (); ; ; (); ; ; ; ; . : () () .. : , . : , , . , : 1 . , :
, , .., , . , . . 2 :
, . , : 2-3 : , , . — ! , . 2 3 :
. : ( ). , , . , . : , , . : 3 :
2 :
, . 2 : , . / , , : 4 . :
. : () (). , . : , ? , , : . : , . ( ). : 5 :
, . , . : . 2 : . : . . . , / . , , . /, ( ) . : : 1) , ; 2) , . 6 1 :
, . , , ( ) 2 . : 7 ( ) 2 :
, . , ( ) ( ). , ( ). : 8 ( ) :
. ! , , , , , . ( ). . , : , , . ? , , , , // , . , : : 1) ( ) ( ) 🙁 , ). 2) ( ) (!!!) , . 9 : ( ): 1) 🙁 ); 2) (!!!) : ( ):
, . , . : 10 . : . : 1) 2 : ; 2) : ; 3) (!!!) : :
, , . , /. . , , . () .. 1) , . : , , . 2) , . : , , . , =) 11 . /:
2 :
, (, ) , 2, : . 2 :
, , : . , — , , ( 1,3) . . ! , , / : 12 . : . 2 :
, 2 , ( ). : . , . : , . : , . 13 :
: 14 :
, . . , . , , : ( ) , . . /. Ƞ , ( ) . : : 1) , ; 2) , . 15 . , , :
: 1) () . , . 2) . 16 ( ): 1) 1,5 : ( ); 2) 2 : :
, : 17 : 1) : ; 2) 4 : :
, , , , , . : 18 : 1) 2 : ; 2) : ; 3) 1 : :
, 1 . (. 7). : , . : , (. ), ; , , . : 19 ( 10) 10 , . . : 4) : ; 5) 3 : :
, , , : 5 3 . , . 5 , 1 . .. , ! , . , — , , , , , : 20 , . . . , , , . , , . . : , . : , . , : : : , : . : 1) : ( ); 2) 2 : ( ); 3) : ( ):
: 21 . . : (1) 1 . , . (2) . . . (3) . , . (4) . . ( ): 1) 1 : ( ); 2) : ( ); 3) : ( ):
, . pdf-, , . , . , . . . , , , , . , , . : : , . 22 :
, :
:
, , . . , , . ? : , . : . : , , (. 13). 23 , :
: , , . : .. (, ). , , . : : , , , . , 24- , =) 24 , :
, , , , :
: ! ! : , , , . , , , , : , : . : 25 :
, , , :
, : . , : , , . , . ? . : . : . , , . : 26 . =)
, , :
, ? , . : , : , . , , . =) — , , . , =) ! : >>> ( ) ? ! — |
Источник
Преобразования графиков тригонометрических функций
Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс — с периодом π. Получаем следствие общих принципов:
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=frac{T_1}{p} $$
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$
Например:
Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sin2x, h(x)=sinfrac{x}{2} $$ 
Период колебаний функции (g(x)=sin2x) в 2 раза меньше: (T_g=frac{2pi}{2}=pi).
Период колебаний функции (h(x)=sinfrac{x}{2}) в 2 раза больше: (T_h=2cdot 2pi=4pi).
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=Af(x), Agt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Общий принцип сжатия графиков:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=frac{1}{A}f(x), Agt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:
- умножение на параметр (Agt 1) увеличивает амплитуду колебаний в (A) раз;
- деление на параметр (Agt 1) уменьшает амплитуду колебаний в (A) раз.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx, g(x)=2cosx, h(x)=frac{1}{2}cosx $$ 
Умножение на (A=2) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции (g(x)=2cosx: yin[-2;2]). График растягивается по оси OY.
Деление на (A=2) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции (h(x)=frac12 cosx: yinleft[-frac12; frac12right]). График сжимается по оси OY.
2) Теперь построим $$ f(x)=tgx, g(x)=2tgx, h(x)=frac{1}{2}tgx $$ 
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на (A=2) служит поведение функции при (x=fracpi4). $$ fleft(fracpi4right)=tgleft(fracpi4right)=1, gleft(fracpi4right)=2tgleft(fracpi4right)=2, hleft(fracpi4right)=frac12 tgleft(fracpi4right)=frac12 $$ Аналогично — для любого другого значения аргумента x.
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы переноса по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x+a), agt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x-a), agt 0 $$ график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций (y_1=f(x)) и (y_2=f(xpm a)) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен (pm a).
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinleft(x+fracpi4right), h(x)=sinleft(x-fracpi4right) $$ 
Функция (g(x)=sinleft(x+fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) влево по сравнению с (f(x))
Функция (h(x)=sinleft(x-fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) вправо по сравнению с (f(x))
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы переноса по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)+a, agt 0 $$ график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)-a, agt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinx+1, h(x)=sinx-1 $$ 
Функция (g(x)=sinx+1) сдвинута на 1 вверх по сравнению c (f(x))
Функция (h(x)=sinx-1) сдвинута на 1 вниз по сравнению с (f(x))
п.5. Общее уравнение синусоиды
Синусоида — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Acos(cx+d)+B) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.
Например:
Построим график (g(x)=3sinleft(2x+fracpi2right)-1)
По сравнению с (f(x)=sinx):
- (A=3) — график растянут по оси OY в 3 раза
- (c=2) — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
- (d=fracpi2) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{2cdot 2}=fracpi4) влево
- (B=-1) — график сдвинут по оси OY на 1 вниз
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
Tангенцоидa — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Actg(cx+d)+B) также называют тангенцоидой.
Например:
Построим график (g(x)=frac12 tgleft(frac{x}{2}-fracpi3right)+1)
По сравнению с (f(x)=tgx):
- (A=frac12) — график сжат по оси OY в 2 раза
- (c=frac12) — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
- (d=-fracpi3) — начальная фаза отрицательная, график сдвинут на (frac{pi}{3cdot 1/2}=frac{2pi}{4}) вправо
- (B=1) — график сдвинут по оси OY на 1 вверх
п.7. Примеры
Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx, g(x)=-sinx, h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для (g(x)) и (h(x)) в сравнении с (f(x)).
Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для (f(x)=sinx) главная арка определена на отрезке (0leq xleq pi)
Для (g(x)=-sinx) главная арка определена на отрезке (-pileq xleq 0), т.е. сдвинута на π влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+pi), sinx=-sin(x+pi) $$ Для (h(x)=cosx) главная арка определена на отрезке (-fracpi2leq xleq fracpi2), т.е. сдвинута на (fracpi2) влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=hleft(x+fracpi2right), sinx=cosleft(x+fracpi2right) $$
Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) (y=sin5x)
Период синуса (2pi) уменьшается в 5 раз. Получаем: (T=frac{2pi}{5})
б) (y=cospi x)
Период косинуса (2pi) уменьшается в (pi) раз. Получаем: (T=frac{2pi}{pi}=2)
в) (y=tgfrac{x}{4})
Период тангенса (pi) увеличивается в 4 раза. Получаем: (T=4pi)
г) (y=tgleft(2x+frac{pi}{3}right))
Период тангенса (pi) уменьшается в 2 раза. Получаем: (T=fracpi2)
Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctgleft(3x+fracpi6right) $$ По сравнению с (g(x)=tgx):
- (A=2) — график растянут по оси OY в 2 раза
- (c=3) — период меньше в 3 раза (T=fracpi3), расстояние между асимптотами (fracpi3), график сжат в 3 раза по оси OX
- (d=-fracpi6) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{6cdot 3}=frac{pi}{18}) влево
Расположение нулей: $$ tgleft(3x+fracpi6right)=0Rightarrow 3x+fracpi6=pi kRightarrow 3x=-fracpi6+pi kRightarrow x =-frac{pi}{18}+frac{pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+fracpi6nefracpi2+pi kRightarrow 3xnefracpi3+pi kRightarrow xnefracpi9+frac{pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: (x=0, y=2tgfracpi6=frac{2}{sqrt{3}})
С учетом периода (fracpi3) получаем семейство дополнительных точек для построения графика (left(frac{pi k}{3}; frac{2}{sqrt{3}}right)).
Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) (sinx=sin2x) при (0leq xleq 3pi)
Ответ: 7 корней
б) (cosfrac{x}{2}=cos2x) при (-2pileq xleq 2pi)
Ответ: 7 корней
Источник