При растяжении сжатии прямого стержня дополнительные внутренние силы

Содержание статьи

Растяжение — сжатие.

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

правило знаков для продольных сил

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.

Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

механизм деформации растяжения

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Таблица 1

Модуль продольной упругости для различных материалов

модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Таблица 2

Коэффициент Пуассона.

коэффициент пуассона для материалов

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

растягивание стержня до разрушения

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

диаграмма растяжения стали

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

примеры разрушения материалов

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки

Источник

РАСТЯЖЕНИЕ — СЖАТИЕ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ

Внутренние силовые факторы в стержне при центральном растяжении — сжатии. Построение эпюр внутренних силовых факторов

В настоящей главе мы рассмотрим растяжение — сжатие прямого стержня, когда внешняя растягивающая (сжимающая) сила приложена параллельно его оси в центре тяжести поперечного сечения. Такой вид нагружения стержня будем называть центральным растяжением — сжатием.

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Прочность тела обусловлена силами взаимодействия между его отдельными частицами, т.е. внутренними силами, значения которых зависят от действующих на тело внешних сил. Если к стержню приложены внешние силы не только в его концевых сечениях, но и в промежуточных (рис. 2.1, а), то значения внутренних усилий в различных поперечных сечениях могут отличаться друг от друга. В этом случае необходимо построить диаграммы, показывающие, как меняются внутренние усилия подлине стержня.

График изменения внутреннего силового фактора по длине стержня носит название эпюры данного внутреннего усилия. Для определения внутренних силовых факторов воспользуемся методом сечений.

Эпюрой продольных сил является график, показывающий, как продольная сила N. изменяется подлине стержня. Рассмотрим пример построения эпюры Ж. для стержня, изображенного на рис. 2.1, я.

Условимся о правиле знаков: продольную силу, направленную от сечения, т.е. соответствующую растяжению, будем считать положительной; продольную силу, направленную к сечению (т.е. сжимающую силу) — отрицательной.

На расстоянии ^ от левого торца стержня мысленно проведем сечение и часть стержня, лежащую правее сечения, отбросим, при-

г.

г2

N..

в)

З/7

Эпюра N.

и.

Рис. 2.1. Расчет продольных сил:

а — расчетная схема; б — сечение на участке между точками приложения сил ЗГи 2/7; в — сечение на участке между точками приложения сил 26 5Р, г — сечение на участке между точкой приложения силы 5Гдо заделки;

д — эпюра продольных сил

дожив вместо нее клевой части пока неизвестную продольную силу Nzl (рис. 2.1, б).

Запишем уравнение равновесия оставленной части:

36- Л^! = 0 , откуда = 36.

Знак «плюс» указывает, что направление А^, было выбрано правильно. Легко заметить, что для любого сечения на участке между точками приложения сил З^и 26продольная сила будет одинакова. В дальнейшем часть стержня, на которой внутреннее усилие описывается единым выражением, будем называть участком нагружения. В приведенном примере имеется три участка нагружения:

• участок I — между точками приложения сил З/^и 26
• участок II — между 26 и 56
• участок III — от точки приложения силы 56до заделки. Границами участков являются сечения, в которых приложены

внешние силы.

Границы участков выделим, проведя через точки приложения внешних сил прямые перпендикулярно оси стержня. На участке II проведем сечение, отбросим правую часть, оставив левую, и рассмотрим равновесие левой части стержня, изображенной отдельно на рис. 2.1, в. Неизвестную продольную силу УУг11 примем, как и раньше, направленной от сечения. Уравнение равновесия будет иметь вид

З/7 — 2/^ — УУ,.,, = 0, откуда УУ,ц =

На последнем участке III проведем сечение В—В и, отбросив правую часть, из уравнения равновесия оставленной левой части (рис. 2.1, г) получим

ЗГ-2Г-5Г- NzШ =0, откуда УУ,П1 = -4/

На этом участке направление УУг1П оказалось ошибочным. Стержень работает на сжатие. Продольная сила на всех участках стержня найдена.

Построим эпюру УУ,. Для этого параллельно оси стержня проводим линию, выше которой будем откладывать в произвольно выбранном масштабе положительные значения УУ., ниже — отрицательные.

В рассматриваемом примере в пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянна, а потому на эпюре изобразится линией, параллельной оси стержня. Эпюра изображена на рис. 2.1, д.

Всякий раз, определяя УУ., мы отбрасывали правую часть стержня и оставляли левую, или, как говорят, строили эпюру слева направо, со свободного конца стержня.

Следует отметить, что к аналогичным результатам можно было бы прийти, если оставлять правую часть стержня, отбрасывая левую (однако при этом надо было предварительно найти реакцию заделки). Эпюра штрихуется линиями, перпендикулярными оси стержня.

Рассмотрим второй пример. На рис. 2.2, а показана схема нагружения стержня. Стержень можно разбить на четыре участка нагружения. Прежде чем приступить к построению эпюры, найдем реакцию левой заделки. Это нам позволит при определении продольных сил оставлять любую часть стержня. Составим уравнение равновесия всего стержня:

-У?3 — 4- 3 + 5- 2 = 0.

Выразив /?3 изданного уравнения, получим

/?3 = -4 кН.

Предварительно выбранное направление реакции оказалось неверным, поэтому исправим его на противоположное.

На первом участке найдем УУ,(, рассматривая равновесие части стержня, лежащей левее сечения А—А (рис. 2.2, б):

а)

4 кН Б
3 кН

В 5 кН

2 кН
б)
в)
г)
д)
4 кН
?

г!

4 кН
4 кН

г2

/V.

5 кН
2 кН

Лг

2 кН

Эпюра N. ЗкН

4кН 2 кН

Рис. 2.2. Нагружение стержня продольными силами:

а — расчетная схема; б — сечение первого участка; в — сечение второго участка; г — сечение третьего участка; д — сечение четвертого участка;

е — эпюра продольных сил 4 + Л^_| = 0, откуда N. х = -4 кН.

Выбрав направление Л^, как указано на рис. 2.2, б, мы предположили, что этот участок стержня будет испытывать растяжение. Знак «минус» указал, что на самом деле происходит деформация сжатия. На втором участке Л^и найдем так же, как и на первом, оставляя часть стержня левее сечения Б—Б (рис. 2.2, в):

N.ц — 4 + 4 = 0 , откуда УУ.,, = 0.

Приходим к выводу, что стержень на участке II не нагружен.

На участках III и IV (рис. 2.2, г, д), оставляя правую часть стержня и отбрасывая левую, получим:

-N.Ш +5-2 = 0, откуда УУ.Ш = 3 кН;
-N^4 — 2 = 0, откуда N.^ = -2 кН.

Теперь можно построить эпюру N.. Выделим границы участков, проведя через точки приложения сил перпендикуляры до пересечения с базовой линией, параллельной оси стержня (рис. 2.2, е).

На первом участке отложим значение УУ,, ниже базовой линии, на втором, где N^1 = 0, эпюра совпадает с базовой линией, на третьем — продольная сила положительна и должна быть отложена выше линии нулевых значений Nv на четвертом — A,IV = -2 кН и откладывается ниже базовой линии.

Анализируя построенные эпюры продольных сил, можно сделать выводы.

1. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре N. имеют место так называемые скачки, т.е. резкие изменения значений Nv
2. Величина скачка равна действующей внешней силе.

При построении эпюры продольных сил нет необходимости всякий раз изображать отдельно оставленную часть стержня. Достаточно запомнить, что продольная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на стержень по одну сторону от данного сечения.

Источник

Растяжение (сжатие) прямого стержня — Студопедия

1. Определение внутренних сил в растягиваемых и сжимаемых стержнях.

2. напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня. Понятие о допускаемом напряжении.

3. Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.

4. Опытное изучение свойств материалов.

Растяжение и сжатие – это простой и часто встречающийся случай напряженного состояния элементов конструкции и деталей машин.

В таких условиях работает буксировочный канат или трос подъемного механизма, колонна здания.

Чистое (центральное) растяжение или сжатие возникает в элементе конструкции, если внешняя нагрузка вызывает в нем только одно внутреннее усилие, которое сопротивляется этой внешней нагрузке, — нормальную продольную силу.

При определении значений внутренних нормальных сил, действующих в поперечных сечениях стержней, примем следующее правило знаков:

— нормальная сила положительна, если сопротивляется растяжению стержня;

— нормальная сила отрицательна – если сопротивляется сжатию.

Для определения значений внутренней нормальной силы в любом из поперечных сечений используется метод сечений.

Пусть прямой стержень постоянной толщиной в одном конце закреплен, а к его другому торцу приложена растягивающая его вдоль оси стержня внешняя сила F.

Какое по величине внутреннее продольное усилие возникает в некотором поперечном сечении стержня n-n?

Прежде всего, отметим, что под действием закрепления и внешней силы стержень растягивается (деформируется), но никуда не движется, т.е. остается в равновесии.

Удобно вначале мысленно «снять» со стержня закрепление. Заменим его влияние на стержень эквивалентно действующей внешней силой. Эта сила равна реакции закрепления.

Т.е. в закреплении возникает некоторое усилие, благодаря которому верхний край стержня остается неподвижным. Это усилие называют реакцией закрепления на внешнюю нагрузку, передающееся на это закрепление через деформируемый стержень.

Незакрепленный стержень, теперь уже под действием двух внешних воздействий: известной силы и неизвестной пока реакции также никуда не движется, т.е. находится в равновесии.

Определить величину реакции поможет математическая формулировка этого факта.

Проведем координатную ось Оz, для удобства совпадающую с осью стержня. Стержень никуда не движется под действием силы и реакции в частности, не движется и вдоль оси, потому что проекции этих внешних сил на ось уравновешивают друг друга.

Такого рода факт в механике формулируется уравнением общего равновесия стержня: суммарная проекция на ось Оz всех действующих на стержень внешних сил, равна нулю:

При построении уравнений общего равновесия механики принято использовать следующее правило знаков:

· Проекция усилия на ось положительна, если ее направление совпадает с выбранным направлением этой оси;

· И наоборот – проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.

Эпюры – графики внутренних усилий, напряжений, перемещений, деформаций, возникающих в элементах конструкций и деталях машин под воздействием внешней нагрузки.

Напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня

Предположим, растягивающую брус внешнюю силу удалось распределить равномерно по его торцам.

Опыты показывают. Что в этом случае каждое продольное волокно бруса подвержено только растяжению и в любом его поперечном сечении внутренние силы действуют только по нормали к этим сечениям.

Поперечные сечения бруса, плоские до деформации, под действием внешних сил перемещаются параллельно своему начальному положению и остаются постоянными.

Растягивающие стержень внешние силы не всегда удается распределить по площади стержня равномерно.

Но опыты показывают, что поведение поперечных сечений растягиваемых стержней, расположенных на некотором расстоянии от места приложения внешней нагрузки, уже не зависит от способа приложения этих сил и всегда соответствует гипотезе плоских сечений.

При рассмотрении деформаций растяжения или сжатия, а также при рассмотрении последующих простых деформаций нами будет рассматриваться принцип Сен-Венана, названный по имени французского ученого XIX века, который заключается в том, что внутренние силовые факторы, возникающие в результате действия внешних сил, распределяются по сечениям рассматриваемого тела равномерно.

Рассмотрим стержень, подверженный действию продольных сил

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно-перпендикулярными, но расстояние между ними изменятся.

Все горизонтальные линии, например, cd, переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми.

Можно предположить, что и внутри стержня будет происходить то же самое, т.е. поперечные сечения стержня плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации.

Эту гипотезу называют гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли).

Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении:

поскольку , то

, отсюда

В частном случае, когда на стержень действует одна внешняя сила, из уравнения равновесия получим:

И вместо общей формулы получим частный вид формулы для растяжения:

Эти формулы справедливы и для сжатия, с той только разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.

Кроме того, сжатые стержни помимо расчета на прочность рассчитываются также и на устойчивость.

Очевидно, что эти напряжения в реальных условиях нельзя создавать больше или много меньше определенной величины. Поэтому вводится понятие допускаемого напряжения: — условие прочности.

Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии – наоборот.

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показали следующую зависимость между относительным удлинением стержня и напряжением :

, где

— абсолютное удлинение стержня

— длина образца до деформации

— длина образца после деформации

Эта зависимость носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

— коэффициент, зависящий от материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию. Он характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию.

Для ст.3 .

Для других материалов значение можно найти в справочниках.

Имея ввиду, что для стержня постоянного сечения:

, а

Можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня:

Между продольным удлинением и поперечным существует зависимость:

Здесь — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона),который характеризует способность материала к поперечным деформациям.

При пользовании этой формулой удлинение считается положительным, а укорочение – отрицательным.

Для всех материалов .

Для стали при упругих деформациях можно принимать =0,3.

Зная можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня : , где — поперечный размер стержня до деформации

— поперечный размер стержня после деформации.

В стержнях переменного сечения напряжения в поперечных сечениях можно считать распределенными равномерно (если угол конусности ) и определять их по той же формуле, что и для стержня постоянного сечения.

Для определения деформаций стержня переменного сечения, в поперечных сечениях которого действует продольная сила N, найдем сначала удлинение элемента длиной , которое является дифференциалом полного удлинения .

Согласно закону Гука, имеем:

Полное удлинение стержня получим, интегрируя выражение в пределах :

, если и — величины постоянные, то

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать закон изменения в зависимости от .

Для ступенчатых стержней интегрирование заменяется суммирование, и полное изменение длины бруса определяется как алгебраическая сумма деформаций его отдельных частей, в пределах которых :

Например, для стержня изображенного на схеме, имеем:

Определим теперь удлинение стержня постоянного сечения под действием силы тяжести, которая представляет собой нагрузку, равномерно распределенную вдоль стержня.

Удельный вес материала обозначим через .

Рассмотрим деформацию элемента , выделенного на расстоянии от нижнего конца.

Удлинение элемента равно:

Интегрируя это выражение в пределах, получим

Это выражение можно представить в другом виде, если учесть, что сила тяжести бруса равна: или , тогда получим — формула по определению перемещения с учетом собственного веса при известной длине

Следовательно, удлинение бруса постоянного сечения от собственной силы тяжести в два раза меньше удлинения от действия силы, равной силе тяжести и приложенной к его концу.

Опытное изучение свойств материалов

Для изучения свойств материалов и установления значения предельных (по разрушению или по пластическим деформациям) производят испытания образцов материала вплоть до разрушения. По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, кручение и изгиб.

Испытания производят при статической и ударной (испытание на усталость и выносливость) нагрузках на ГМС – 50.

Цель испытания на растяжение – определение механических характеристик материала.

При проведении испытания автоматически записывается диаграмма зависимости между растягивающей силой и удлинением образца.

Условия и порядок выполнения работы

1. Стальной стержень ступенчатого сечения находится под действием внешней силы и собственного веса.

2. Необходимо построить эпюры:

· нормальных продольных сил

· нормальных напряжений

· перемещения сечений стержня относительно жесткой заделки.

Площадь большего поперечного сечения стержня в 2 раза превышает меньшую.

Источник