Расчет на прочность при осевом растяжении и сжатии задачи

Пример решения задачи на растяжение и сжатие

.

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие

рис 3.2

Решение пример задачи на растяжение и сжатие

Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке

Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:

кН.

Строим эпюру продольных сил

Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что

кН.

Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

кН.

Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:

кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:

кН.

При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .

Строим эпюру нормальных напряжений

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно

кН/см2,

во втором –

кН/см2,

в третьем –

кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.

Оцениваем прочность стержня

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

кН/см2.

Условие прочности имеет вид . В нашем случае

кН/см2 > кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:

см2.

Принимаем на втором участке см2.

Вычисляем удлинение всего стержня

При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.

Тогда

см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.

Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи на растяжение и сжатие

Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие

1. Поверочный расчет. Определяются расчетные напряжения и деформации по заданным нагрузкам и размерам поперечного сечения детали и сравниваются с допускаемыми:

Наибольшее отклонение расчетного напряжения или деформации от допускаемых не должно превышать ±5% и не рассматривается как нарушение прочности. Перенапряжения больше этого значения недопустимы с точки зрения обеспечения прочности, а недонапряжение — необоснованного перерасхода материала.

2. Конструкционный расчет (определение размеров сечения):

Из двух полученных значений принимается большее.

3. Эксплуатационный расчет. Определение допускаемой продольной силы по заданным размерам и известному допускаемому напряжению:

Из двух полученных значений принимается меньшее.

Системы, в которых внутренние силовые факторы, в частности продольные силы, нс могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами.

Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми.

Для решения статически неопределимых задач составляют, помимо уравнения равновесия, дополнительные уравнения деформаций, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы или перемещений сечений. Их число зависит от числа неизвестных усилий, которые не определяются уравнениями статики. В системах, в которых число неизвестных лишь на единицу больше уравнений статики, называют системами один раз (однажды) статически неопределимыми.

Системы, в которых требуется составление двух уравнений деформаций, называют дважды статически неопределимыми, и т.д.

При изменении температуры статически неопределимой системы или отдельных ее элементов в стержнях возникают внутренние усилия и напряжения, называемые температурными.

Рассмотрим два одинаковых стержня (рис. 2.12), из которых первый заделан одним концом (рис. 2.12, а), представляя статически определимую систему, а второй (рис. 2.12, б), жестко защемленный обоими концами — статически неопределимую систему. При нагревании на At стержень, заделанный одним концом, удлиняется на величину А/, = (X ? I ? At, где а — коэффициент линейного расширения. При этом он нс испытывает механическое (силовое) воздействие, так внутренние силы упругости и напряжения в нем нс возникают. В науке о сопротивлении материалов нс рассматриваются напряжения, возникающие в материале при изменении температуры — термические напряжения. Длина второго стержня при нагревании не изменяется, так как жесткие заделки не дают ему возможности удлиняться.

Таким образом при нагревании стержня, который нс может свободно удлиняться, возникают внутренние сжимающие усилия и, соответственно, сжимающие напряжения. При охлаждении стержня, наоборот, в нем возникают внутренние усилия и напряжения растяжения.

Для определения внутренних усилий и напряжений, возникающих в стержне, жестко защемленном обоими концами, мысленно освободим стержень от одного из защемлений, например, правого. Заменим его действие на стержень соответствующей силой — реакцией Z = NB (рис. 2.12, в). Тогда стержень имеет возможность при нагреве удлиняться на величину Д/, = OL -1 ? At. Но реактивная сила Z сжимает стержень на величину

Д/у = —Z ? I /(Е ? А). Суммарная длина стержня остается неизменной, т.е.
откуда

Рис. 2.12. Стержневые системы: а — статически определимая;

6 — статически неопределимая; в — преобразованная

Учитывая, что имеем

Величина напряжений, полученных из последнего выражения, максимальна; если одна из заделок будет иметь хотя бы небольшую возможность смещаться, то напряжения, возникающие в стержне при изменении температуры стержня, будут меньше.

Пример 2.4. Определить требуемый диаметр стержня, изготовленного из стали, имеющей предел текучести а, = 260 МПа, и растягиваемого силой F = 32 кН. Требуемый коэффициент запаса прочности пас/т — 2.

Решение

Допускаемое напряжение

Требуемая площадь и диаметр поперечного сечения
Принимаем d = 18 мм.

Пример 2.5. Проверить на сжатие короткий поршневой стальной шток (рис. 2.13) компрессора при давлении в цилиндре р = 15 бар (1 бар = 0,14 Н/мм2). Внутренний диаметр цилиндра D = 300 мм, диаметр штока d = 40 мм, допускаемое напряжение для штока a(jm = 100 Н/мм2.

Рис. 2.13. К примеру 2.5

Решение

Определяем величину силы F, сжимающей шток:
Величина напряжений в поперечном сечении штока

Пример 2.6. Стальной брус жестко заделан обоими концами и охлаждается на At. Определить допускаемое изменение температуры из условия, чтобы возникающие в результате этого напряжения в поперечных сечениях бруса не превышали Е = 2,0- 105 МПа, коэффициент линейного расширения а = 12,5-10.

Решение

Температурные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле

откуда

Пример 2.7. Часть I. Для статически определимого стержня (рис. 2.14) требуется:

• 1) построить эпюру продольных сил;
• 2) из условий прочности по нормальным напряжениям и конструктивных

требований подобрать поперечные сечения стержня на каждой ступени. Величины допускаемых нормальных напряжения принять равными (J^ = 200 МПа,

Рис. 2.14. Схема загружения ступенчатого стерженя

• 3) для принятого стержня построить эпюру нормальных напряжений;
• 4) определить общее удлинение (укорочение) стержня и построить эпюру перемещений поперечных

сечений, приняв ? = 2 10^ МПа.

Часть II. Жестко закрепить свободный конец полученного стержня. Для статически неопределимого стержня:

• 1) раскрыть статическую неопределимость;
• 2) построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений.

Исходные данные: F = 60 кН; С^ = 200 МПа; = 100 МПа;

? = 2•105 МПа.

Решение

1. Построение эпюры продольных сил.

Разбиваем стержень на грузовые участки и нумеруем их римскими циф рами (рис. 2.15). Разбивку начинаем со свободного конца стержня.

Применяя метод сечений, определяем продольные силы на каждом учасг ке из условия равновесия отсеченных частей стержня (рис. 2.15, а).

Условия равновесия ?np.Z = 0.

I участок: N = 0; N = 0.

II участок:

Ill участок:

IV участок:

Из условия равновесия всего стержня находим реакцию в месте крепления:

Строим эпюру N (рис. 2.15, б).

2. Подбор поперечных сечений стержня.

N

Из условия прочности А > —т—г-.

ПС

°adm

Площади поперечных сечений на каждом участке:

Рис. 2.15. Расчет ступенчатого стержня: а — определение продольных сил; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных напряжений; г — эпюра перемещений поперечных сечений

По конструктивным требованиям принимаем

3. Для принятого стержня определяем

Строим эпюру G (рис. 2.15, в).

4. Определение общего удлинения (укорочения) стержня и построение эпюры 5 перемещений поперечных сечений стержня (? = 2 • 10^ МПа).

Общая деформация стержня

где A/j ,Д/ц ,A/ju ,A/fn ,A/1V — деформации на каждом грузовом участке или зоне.

Перемещения поперечных сечений:

Строим эпюру 5 (рис. 2.15, г).

Часть II

После закрепления свободного конца стержня получаем статически неопределимый стержень (неизвестных два — R и Rj, а уравнение — одно). Степень статической неопределимости п = 2 — 1 = 1. Задача однажды статически неопределима.

1. Раскрытие статической неопределимости Уравнение статики по схеме (рис. 2.16, а):

Уравнение деформации

Рис. 2.16. Статически неопределимый стержень:

а — определение продольных сил; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных напряжений

Применяя закон Гука, перепишем условие совместности деформаций:
После преобразования получим:

Тогда

Применяя метод сечений из условия равновесия отсеченных частей стержня, определим продольные силы N на каждом грузовом участке Xnp.z = 0 (рис. 2.16, б):

После подстановки найденных значений в (2.11) получим:

Статическая неопределимость раскрыта.

2. Построение эпюр N и

Определяем продольные силы в сечениях стержня на грузовых участках:

Строим эпюру N (см. рис. 2.16, б).

Строим эпюру О (рис. 2.16, в).

3. Кинематическая проверка

Определяем суммарную абсолютную деформацию стержня:

Вопросы для самоконтроля