Удлинение сухожилия модуль юнга

Методические рекомендации для студентов I курса

медико-биологического факультета по подготовке к практическим занятиям и выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по физике

(первый семестр)

Занятие №8

Тема: Теория упругости.

Время на изучение темы: 3 часа

Цель занятия: освоить основные теоретические понятия изучаемой темы; научиться решать задачи, грамотно проводить физический эксперимент и овладеть умениями математической обработки результатов измерений.

Задачи:

1.изучить основные теоретические понятия темы (деформации, виды деформаций, физические величины, характеризующие механические свойства тел, диаграмма «деформация-напряжение», дефекты в кристаллах, физические свойства биологических тканей);

2.научиться решать задачи на применение изученных физических понятий и законов (закон Гука, моделирование физических свойств биологических тканей);

3.овладеть умениями практического использования приобретенных знаний в практической деятельности, осуществлять самостоятельный поиск учебной информации.

Материал для изучения:

Антонов, В.Ф., Черныш А.M., Козлова Е.К., Коржуев А.В. Физика и биофизика: Курс лекций для студентов мед. вузов. – М.: ГОЭТАР-Медиа, 2010.

Федорова, В.Н. Медицинская и биологическая физика: Курс лекций с задачами / В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009.

Этапы урока:

I. Организационный момент занятия.

II. Теоретическая часть занятия.

Обратите внимание на наиболее сложные понятия темы, неполное или некорректное понимание которых может вызвать затруднения при решении задач.

Деформа́ция (от лат. deformatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение.

Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические). К числу последних принадлежит также ползучесть итекучесть. Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а пластические — остаются (остаточная деформация). При упругих деформаций лежат смещения атомов металлов от положения равновесия обратимы (другими словами, атомы не выходят за пределы межатомных связей); в случае же пластических — перемещения атомов происходят на значительные расстояния от исходных положений равновесия, становясь необратимыми (т.е. наблюдается выход за рамки межатомных связей и после снятия нагрузки происходит переориентация в новое равновесное положение).

Переход упругой деформации в пластическую происходит по достижении напряжениями некоторого критического значения (предела упругости). Также существуют пределы текучести (значение напряжения, по достижении которого тело способно деформироваться без дальнейшего увеличения величины напряжения) и прочности(величины механического напряжения, при котором наступает разрушение деформируемого тела). Ползучесть — это необратимые деформации нагруженного тела, происходящие в течение длительного времени. Способность веществ пластически деформироваться называется пластичностью. При пластической деформации металла одновременно с изменением формы меняется ряд свойств — в частности, при холодном деформировании повышается прочность.

Наиболее простые виды деформации тела в целом:

• растяжение-сжатие;
• сдвиг;
• изгиб;
• кручение.

В большинстве практических случаев наблюдаемая деформация представляет собой совмещение нескольких одновременных простых деформаций. В конечном счёте, однако, любую деформацию можно свести к двум наиболее простым: растяжению (или сжатию) и сдвигу.

Деформация твёрдого тела может явиться следствием фазовых превращений, связанных с изменением объёма, теплового расширения, намагничивания (магнитострикция), появления электрического заряда (пьезоэлектрический эффект) или же результатом действия внешних сил.

Упругие деформации в теле подчиняются закону Гука (закону упругих деформаций): Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации. Следует отметить, что для того, чтобы деформация была упругой, она должна удовлетворять условию малости: величина абсолютной деформации должна быть много меньше линейных размеров деформируемого тела. Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь  — сила натяжения стержня,  — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а  называется коэффициентом упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения  и длины ) явно, записав коэффициент упругости как

Величина  называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга (в честь английского физика XIX века Томаса Юнга) и является механической характеристикой материала. Модуль Юнга, или модуль упругости используется для характеристики упругих и прочностных свойств тканей организма, что имеет большой практический интерес. Например, знание упругих характеристик костей необходимо в хирургической практике (подбор нагрузок при вытяжениях). Для диагностики заболеваний сердечно-сосудистой системы используется определение модуля упругости стенок кровеносных сосудов.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Следует еще раз напомнить, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности (величины механического напряжения, при которой еще сохраняется пропорциональная связь напряжения и деформации) связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. А для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

          Механические свойства биологических тканей. Уравнение Ламе.

Упругие и вязкие свойства биологических тканей удобно моделировать. Это дает возможность нагляднее представить механические свойства биологических тканей. Упругие свойства наиболее удачно моделируются при помощи пружины (рис. 7.1.), а вязкие свойства посредством цилиндра с поршнем, заполненного вязкой жидкостью (рис. 7.2.).

Рис. 7.1.

Упругая деформация

Рис. 7.2.

Модель вязкого тела.

Механические свойства биологических тканей имеют две разновидности:

первая связана с биологической подвижностью: сокращение мышц, рост клеток, движение хромосом в клетках при их деление и др. Эти процессы связаны с химическими процессами. Условно эту группу называют активными механическими свойствами. Другая разновидность – пассивные механические свойства биологических тел. Рассмотрим этот вопрос применительно к биологическим тканям.

Биологическая ткань – есть композиционный материал. Механические свойства биологической ткани отличаются от механических свойств каждого компонента. Определения механических свойств биологических тканей схожи с методами определения свойств технических материалов. Плотность костной ткани 2400 кг/м3, ее механические свойства зависят от возраста, индивидуальных условий, роста организма, от участка организма и др.

Композиционное строение кости придает ей упругость, твердость и прочность. Зависимость =f() для кости имеет вид (рис. 7.3.):

Рис. 7.3.

То есть при небольших деформациях выполняется закон Гука. Модуль Юнга ≈ 10ГПа, предел прочности 100мПа. Примерный вид кривых ползучести костной ткани (рис. 7.4.):

ОА – быстрая деформация

АВ – ползучесть

Вt1 – снята нагрузка

ВС – быстрые деформационные сокращения

CD – обратная ползучесть

Рис. 7.4.

          В результате даже за длинный промежуток времени кость не восстанавливает прежних размеров, сохраняется некоторая остаточная деформация состояния. Для этого случая можно предложить следующую модель (рис. 7.5.).

Рис. 7.5.

Примерная зависимость относительной деформации будет такой (рис. 7.6.):

Рис. 7.6.

При действии постоянной нагрузки растягивается пружина 1 (участок ОА), затем вытягивается поршень (релаксация АВ), после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пружины 1 (ВС) а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение (обратная релаксация СD). В этой модели не предусматривается остаточная деформация.

Можно предположить, что минеральное содержимое кости обеспечивает быструю деформацию, а полимерная  — определяет ползучесть. Кожа является вязкоупругим материалом с вязкоупругими свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется.

Мышцы. Механические свойства мышц подобны полимерам (рис. 7.7.):

Рис. 7.7.

Т.е. гладкие мышцы могут растягиваться без особого напряжения, что способствует увеличению объема  полых органов (мочевой пузырь).

Ткань кровеносных сосудов определяется свойствами коллагена, эластина  и гладких мышц. Содержание этих компонентов изменяется по ходу кровеносной системы, по мере удаления от сердца увеличивается доля гладких мышц. Рассмотрим деформацию сосуда в целом как результат действия давления изнутри на упругий цилиндр.

Рассмотрим цилиндрическую часть кровеносного сосуда длиной , толщиной  и радиусом внутренней части  (рис. 7.8.).

Рис. 7.8.

Общая площадь сечения взаимодействия равна . Если в стенке существует механическое напряжение , то сила взаимодействия двух половинок сосуда:

 (1)

Эта сила уравновешивается силами давления на цилиндр изнутри (стрелки на рисунке). Равнодействующую этих сил можно найти, умножив давление на проекцию площади полуцилиндра, на вертикальную плоскость . Эта проекция равна , тогда (1) через давление равна

 (2)

Приравнивая (1) и (2) получим:

 (3)

Уравнение (3) получило название – уравнение Ламе.

III. Практическая часть занятия. Примеры решения задач.

1. Мышца длиной  и диаметром  под действием груза  удлинилась на . Определить модуль упругости мышечной ткани.

2. Определить эффективный модуль упругости портняжной мышцы лягушки, если при возрастании приложенного к мышце напряжения от  до  длина её увеличивалась от  до .

3. Вычислить работу, совершаемую спортсменом при растяжении пружины эспандера на  если известно, что при усилии в  эспандер растягивается на

4. Из большеберцовой кости собаки вырезали стержень прямоугольного сечения с ребрами а=2мм, b=5мм. Стержень положили на упоры, находящиеся на расстоянии L= 5см друг от друга, и посередине между ними к нему приложили силу 28 Н. При этом стрела прогиба оказалась равной 1,5 мм. Определить модуль Юнга для этой кости.

Найти

Е-?Решение:

Задача 2Дано:

Найти:

Е-? Задача 3Дано:

Найти:

А-? Задача 4Дано:

а=2мм

b=5мм

L= 5см

h=1,5мм

Найти:

Е -?Практически модуль Юнга различных материалов обычно определяют, подвергая образец материала деформации растяжения. Но существуют и другие способы определения модуля Юнга. К примеру, исследуемый образец

подвергают деформации изгиба: если на середину прямого упругого стержня свободно положенного на твердые опоры, действует сила F, то стержень изгибается. При таком изгибе верхние слои стержня сжимаются, нижние – растягиваются, а некоторый средний слой, который называют нейтральным, сохраняет длину и только искривляется. Перемещение h, которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Она тем больше, чем больше нагрузка, а также зависит от формы, размеров стержня и его модуля упругости, и определяется по формуле:

Тогда из формулы для стрелы прогиба:

найдем, что

Решить следующие задачи (домашнее задание) рассмотрев примеры решения типовых задач.

1. Определить абсолютное удлинение сухожилия длиной 4 см и диаметром  6 мм под действием силы 31,4 Н. Модуль  упругости сухожилия принять равным . ().

1. Какие силы надо приложить к концам ортопедической проволоки длиной 4 м и сечением  для удлинения ее на 2 мм? Модуль упругости Е = 200 ГПа. (50Н)

3. Определить толщину стенки большой берцовой кости диаметром 28 мм, если её разрыв произошел при нагрузке  Предел прочности кости принять равным . (3мм)

4. Определить плотность потенциальной энергии деревянного стержня при изменении его продольных размеров с 5 см до 4,9 см. Модуль Юнга для дерева вдоль волокон считать равным . (u=2.8 МПа)

5. Для определения механических свойств костной ткани была взята пластинка из свода черепа со следующими размерами: длина — 5см, ширина – 1 см, толщина 0,5 см. Под действием силы, равной 200 Н пластинка удлинилась на 1,2 см. Определить по этим данным модуль Юнга костной ткани при деформации растяжения.

6. Определите давление в стенке капилляра диаметром 20 мкм, если толщина стенки сосуда 2мкм, а тангенциальное напряжение в стенке 8 Па.

IV. Внеаудиторная самостоятельная работа.

1. Модуль упругости коллагена 100 МПа, модуль упругости эластина 1 МПа, относительные удлинения для обоих материалов одинаковы. Во сколько раз напряжение, возникающее в коллагене больше напряжения, возникающего в эластине?

2. Определить относительное удлинение мышцы, если при ее растяжении затрачена работа 6,3 Дж, длина мышцы 20 см, площадь поперечного сечения мышцы 1 см2, модуль Юнга мышечной ткани 9 МПа.

3. Мышца длиной 10 см и диаметром 1 см под действием груза 49 Н удлинилась на 7 мм. Определить модуль упругости мышечной ткани.

4. Определить эффективный модуль упругости портняжной мышцы лягушки, если при возрастании приложенного к мышце напряжения от 5 кПа до 35 кПа длина ее увеличилась от 30 мм до 32 мм.

5. Определить силу, необходимую для удлинения сухожилия сечением 6 мм2 на 0,08 его первоначальной длины. Модуль Юнга считать равным 109 Н/м2.

6. Определить сечение сухожилия, если при действии на него силы 80 Н его длина увеличилась на 2 %. Модуль Юнга считать равным 109 Н/м2.