Выражение одних логических связок другие

Выражение одних логических связок посредством других

Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы и выразимы через другие. Например:

p→q = p ∨ q — импликация через дизъюнкцию

p→q = q →p — импликация через импликацию

p→q = p ∧ q — импликация через конъюнкцию

p ∧ q = p ∨ q — конъюнкция через дизъюнкцию

p ∨ q = p ∧ q — дизъюнкция через конъюнкцию

p ∧ q = p ∨ q — конъюнкция через дизъюнкцию

Существует метод проверки равносильности сложных суждений. Он заключается в построении таблиц истинности для соответствующих символических выражений. Если таблицы истинности совпадают при одинаковых логических значениях переменных, то такие выражения равносильны. Докажем равносильность следующей формулы

p→q = p ∨ q (дизъюнкция нестрогая).

МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ОБЩЕГУМАНИТАРНЫХ И СОЦИАЛЬНО-ЭКНОМИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

Тема 5: Дедуктивные умозаключения. Выводы из простых суждений

Учебные цели:

Объяснить учащимся структуру формирования простых умозаключений. Дать определение и объяснение таким терминам как посылки, заключение, вывод, силлогизм, эпихейрема. Научит учащихся различать суждения дедуктивные и индуктивные, рассмотреть схемы генезиса и обращения дедуктивных умозаключений. Рассмотреть алгоритмы образований силлогизма и его виды.

Вопросы:

1. Умозаключение как форма мышления.

2. Виды умозаключений.

3. Непосредственные умозаключения.

4. Опосредованные умозаключения. Простой категорический силлогизм.

5. Сокращенные, сложные и сложносокращенные силлогизмы.

Автор фондовой лекции:

Преподаватель кафедры ОГ и СЭД,

К.c.н. Тоторкулова М.М.

Рецензенты:

1. Доктор философских наук, профессор Сергодеева Е.А.

2. Доктор социологических наук, профессор Асеев Ю.И.

Лекция обсуждена и одобрена на заседании кафедры Общегуманитарных и социально-экономических дисциплин.

Протокол № от «____» ____________ 20__ г.

1. Умозаключение как форма мышления.

Умозаключение- это форма мышления, посредством которой выводится новое суждение на основании одного или более известных суждений. Иначе говоря, умозаключение- это форма мыли и способ получения выводного знания на основе уже имеющегося.

Умозаключениепредставляет собой переход от некоторых высказываний A1,…,An(n≥1), фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию Bи соответственно к знанию о наличие ситуации, которую описывает это высказывание.

В структуре умозаключенияпринято выделять следующие части: посылки и заключение. Посылки — это высказывания, представляющие исходное знание, т. е. ранее известные, исходные суждения, из которых в процессе умозаключениявыводится новое суждение.

Заключение — это высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения, или иначе, это новое суждение, полученное в результате сопоставления посылок.

Например, в умозаключении:

Все металлы — проводники

Медь — металл

Медь — проводник

Первые два суждения — посылки, а последнее — заключение.

Процедура логического перехода от посылок к заключению называется выводом.

Виды умозоключений

1. Понятие умозаключениякак логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь, принято различать правильные и неправильные умозаключения. Умозаключение, представляющее переход от посылок A1,…,An(n≥1) к заключению B, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования, т. е. Bявляется логическим следствием A1,…,An(n≥1). В противном случае — если между посылками и заключением не такого отношения — умозаключениеявляется неправильным.

2. По характеру логического следованиявсе умозаключенияделятся на дедуктивные и недедуктивные, или иначе — индуктивные(выроятностные). Главное отличие двух указанных видов умозаключенийсостоит в том, что дедуктивные умозаключениягарантируют истинность заключения при истинности посылок, в то время как недедуктивные обеспечивают лишь некоторую степень правдоподобия заключения, т. е. некоторую вероятность его истинности. В связи с этим различием дедуктивные умозаключенияиногда называют еще демонстративными или достоверными, а недедуктивные — правдоподобными или проблематичными.

Правильное дедуктивноеумозаключениесвязано с дедуктивным следованием, т. е. между его посылками и заключением имеет место отношение логического следования, определяемое следующим образом: из суждения Aлогически следует суждение Bтогда и

только тогда, когда Aи Bсвязаны по смыслу, а A ⊃ B является логическим законом. При этом A- символическое выражение посылок, соединенных логическим союзом конъюнкции, B- символическое выражение заключения. Учитывая это, можно сказать, что в основе всех правильных дедуктивныхумозаключенийлежат логические законы. Следовательно, любое правильное дедуктивноеумозаключениеможно представить в следующем виде: 1 … n A ∧ ∧ A ⊃ B (n≥1), где 1 … n A ∧ ∧ A является конъюнкцией всех посылок, а само символическое выражение будет представлять собой логический закон, т. е. тождественно-истинную формулуили формулу, принимающую логическое значение истины при всех вариантах логических значений входящих в нее переменных.

3. Наконец, в зависимости от количества посылок умозаключенияделятся на непосредственные и опосредствованные.

В непосредственных умозаключениях заключение выводится из одной посылки. Например, исходное суждение: «Все львы хищники», а новое — «Ни один лев не является не-хищником».

В опосредствованных умозаключениях заключение выводится из двух и более посылок. Например:

Все люди смертны

Сократ — человек

Сократ — смертен

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложны­ми суждениями, образуемыми из простых посредством логичес­ких связок (или операций) — конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «^») выражается союзами: «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только…, но и» и др. В логике высказываний знак «Ù»соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: «Дети пели и смеялись» (а ^ b) ; «Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

«Интересная книга лежит на столе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = ( b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) «Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок» и 2) «У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: «Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге «Математическая логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами «^» (или «&»). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

«Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А.А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В»‘.

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ύ b) выражается союзами: «или», «либо», «то ли…, то ли» и др. Например: «Вечером я пойду в кино или в библио­теку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: «Я подарю ей цветы или книги» (а b) и строгая дизъ­юнкция, например: «Данный студент находится в институте или дома» (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой — исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности:

в естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло».

С. Клини показывает, какими разнообразными способами мо­гут быть выражены в естественном языке импликация (А В) и эквиваленция (А~В)2. (Буквами А и В обозначены переменные высказывания).

Приведем структуры и соответствующиеим примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения имплика­ции А В (где А — антецедент, а В — консеквент):

1. Если А. то В. Если пойдет дождь, то экскурсия в лес не состоится.

2. Коль скоро А, то В. Коль скоро приближается буря, то медузы приплывают к берегу моря.

_______________________________

‘Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 81.

2Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 81.

3. В случае А имеет место В.

В случае, когда наступает инфляция, имеет место снижение жизненного уровня трудящихся.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы металл расплавить, достаточно его нагреть до температуры плавления.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо увеличить уси­лия всех государств в борьбе за мир.

6. А (материально) влечет В.

Овладение искусством общения влечет улучшение межлично­стных отношений.

7. А, только если В.

Ваши коммуникации будут успешнее, только если вы займете позицию: «У меня все в порядке — у тебя все в порядке»‘.

8. В, если А.

Мы поедем отдыхать в санаторий, если у нас будет путевка.

Приведем структуры и соответствующие им примеры разнооб­разных способов выражения эквиваленции:

1. А, если и только если В.

Посевная пройдет успешно, если и только если вовремя бу­дут отремонтированы сельскохозяйственные машины.

2. Если А, то В, и обратно.

«Если вы твердо уверены, что ваши аргументы убедительнее, но ваш коллега, стоящий на той же ступеньке служебной лестни­цы, не хочет этого замечать, то избегайте призывать на помощь вашего начальника»2, и обратно.

3. А, если В, и В, если А.

Всякое число является четным, если оно делится на 2, и чи­сло делится на 2, если оно является четным.

4. Для А необходимо и достаточно В. Для того, чтобы число без остатка делилось на 5, необходи­мо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0 или 5.

5. А тогда и только тогда, когда В.

_____________________________

‘Шмидт Р. Искусство общения // Пер. с нем. М., 1992. С. 59.

Tам же. С. 48.

B коллективе возникает хороший психологический климат тогда и только тогда, когда будут однозначно определены зада­чи, ответственность и компетенция каждого сотрудника’.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказыва­ний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, рус­ском) средства выражения импликации и эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках2.

Импликация (а ® 6) не совсем соответствует по смыслу сою­зу «если…, то» естественного языка, так как в ней может отсутство­вать содержательная связь между суждениями а и b. В логике высказываний законом является формула: (а ® b) = (ā b) Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если…, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например: «Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суж­дение выражается формулой а^b.

В логике, кроме логических связок, для выражения общих и ча­стных суждений используется квантор общности и квантор суще­ствования. Запись с квантором общности хР(x) обычно читает­ся так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойст­вом Р», а запись с квантором существования хР(х} читается так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р», Например, х (х > 100) читается так: «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумевают числа. В русском языке квантор общности выражается словами: «все», «вся­кий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выража­ется словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «мень­шинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного язы­ка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаем­ся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности.

Контрфактическими называют условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении. Например: «Если бы

____________________________

‘Шмидт Р. Искусство общения // Пер. с нем. М., 1992. С. 48.

2B качестве самостоятельного задания рекомендуем рассмотреть выраже­ние логических связок в каком-либо другом языке или показать это на произве­дениях какого-либо писателя.

на Земле не было кислорода, то жизнь на ней была бы невозмо­жна»; «Если бы водитель не нарушил правила, то авария бы не произошла». В импликации а®b переменная а является основа­нием (она называется антецедентом). Переменная b — след­ствием (заключением), она называется консеквентам.

Сослагательное наклонение показывает, что антецедент и консеквент в таких высказываниях ложны, т. е. не соответствуют реальному положению дел. Однако, подобно всем другим высказываниям, контрфактическое высказывание в целом мо­жет быть истинным. Оно истинно, если между его антецеден­том и консеквентом имеется связь такого рода, что истинность антецедента влечет истинность консеквента. И ложно, если такой связи нет. Например, высказывание «Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы темно» истинно, а высказывание «Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы светло» ложно (для несеверных широт, так как на Севере летом бывают белые ночи). Поскольку антецедент и консеквент контрфактического выска­зывания оба ложны, установление их истинности связано с серьезными трудностями.

Контрфактическое высказывание имеет структуру: «Если бы а, то было бы b». Контрфактические высказывания широко используются в научной практике. Так, например, историки для оценки событий, намерений, мотивов, политических планов и т. п. часто употребляют контрфактические предложения, говорящие, то могло бы быть, если бы дело обстояло не так, как это произошло в действительности. Контрфактичесиое предложение, изъявительные формы антецедента и консеквента которого обозначены соответственно через а и b, принято записывать как а a b.

Примером сложного контрфактического высказывания является следующее истинное высказывание: «Последствия стихии могли быть тяжелее, если бы не мужество и сплоченность людей, четкая организация спасательных работ, неукоснительное выполнение всеми порученного дела». Чтобы записать формулу этого сложного контрфактического высказывания, надо его сначала привести к четкой логической форме. Она такая: «Если бы

не было мужества и сплоченности людей, четкой организации спасательных работ, неукоснительного выполнения всеми пору­ченного дела, то последствия стихии могли бы быть тяжелее». формула этого контрфактического высказывания такая:

(а^b^с^d) aе.

Здесь а обозначает высказывание «Мужество людей отсутст­вовало», b — высказывание «Сплоченность людей отсутствова­ла», с — «Четкая организация работ отсутствовал», d- «Неукос­нительное выполнение всеми порученного дела отсутствовало». Все четыре высказывания соединены знаками конъюнкции. Знак «a » обозначает импликацию в контрфактическом высказыва­нии, соответствующую союзу «если бы…, то было бы». Буква е обозначает высказывание «Последствия стихии оказались тяже­лее». Следует заметить, что знак «a» отсутствует в класси­ческой логике высказываний.

Контрфактические высказывания довольно часто встреча­ются не только в научной, но и в художественной литературе -как в прозе, так и в поэзии.

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Ус­ловие называется необходимым, если оно вытекает из заклю­чения (следствия). Условие называется достаточным, если; .из него вытекает заключение (следствие). Ниже предлагаются задачи, требующие в каждом из следующих предложений вме­сто многоточия поставить слова: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно».

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом … чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15 … чтобы оно дели­лось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х-3)*(х+2)*(х-5) было равно 0,… чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником … чтобы все его углы были равны.

Источник