Закон гука при растяжении и сжатии техническая механика
Содержание статьи
Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.
Сопротивление материалов
Деформации при растяжении и сжатии
Продольные деформации при растяжении и сжатии
Характер деформаций, которым подвергается прямой брус при растяжении или сжатии мы определили, проведя опыт с резиновым брусом, на котором была нанесена сетка линий.
Теперь представим себе брус постоянного сечения имеющий длину l, один из концов которого защемлен, а к свободному концу приложена растягивающая сила F. Под действием этой силы брус удлинится на некоторую величину Δl, которую назовем абсолютным удлинением бруса.
Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине бруса l назовем относительным удлинением и обозначим ε:
ε = Δl / l
Относительное удлинение – величина безразмерная, иногда его выражают в процентах.
Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением или укорочением.
***
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.
Математически эта зависимость записывается так:
σ = E ε.
Здесь Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).
Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.
Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:
Δl = Nl / (EА).
Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.
Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение ЕА / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:
Δl = Σ (Δli)
***
Поперечные деформации при растяжении и сжатии
Описанный ранее опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка линий, показал, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются, т. е. брус становится либо тоньше, либо толще. Это явление характерно для брусьев, изготовленных из всех материалов.
Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении или сжатии отношение относительных поперечной и продольной деформаций для данного материала – величина постоянная.
Впервые на эту зависимость указал французский ученый С. Пуассон (1781-1840 г.г.) и математически она записывается так:
|ε1| = ν |ε|,
где ν – коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона.
Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной, и характеризует упругие свойства материала. При растяжении и сжатии этот коэффициент принимается одинаковым.
Значения коэффициента Пуассона для разных материалов установлены опытным путем и их величины можно найти в соответствующих справочниках.
***
Потенциальная энергия деформации при растяжении
При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила F возрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.
Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U.
Путем изучения диаграмм растяжения образцов, установлено, что потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной l постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна:
U = W = F Δl / 2 = N2 l / (2E А)
Сопротивление материалов оперирует, также, таким понятием, как удельная потенциальная энергия деформации, которая подсчитывается, как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.
При одновременном действии растягивающих и сжимающих нагрузок или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения бруса, его разбивают на однородные участки и для каждого подсчитывают потенциальную энергию деформации. Потенциальную энергию деформации всего бруса определяют, как сумму потенциальных энергий отдельных участков.
Анализируя формулу потенциальной энергии деформации можно сделать вывод, что эта величина всегда положительная, поскольку в ее выражения входят квадраты линейных и силовых величин. По этой причине при вычислении потенциальной энергии деформации нельзя применять принцип независимости действия сил (поскольку квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых).
Единицей измерения потенциальной энергии деформации, как и работы, является джоуль (Дж).
***
Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:
- Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
- Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Статически неопределимые задачи.
Смятие
Правильные ответы на вопросы Теста № 5
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 |
Источник
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635— 1703).
Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению. Математически закон Гука можно записать в виде равенства
Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, то есть его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах: [Е = [ст]/[е] = Па.
В таблице 2.1 приведены значения ?для некоторых материалов.
Таблица 2.1
Материал | Е, МПа |
Чугун | (1,5…1,6) ТО5 |
Сталь | (1,96…2,16) ТО5 |
Медь | (1,0…1,3)105 |
Сплавы алюминия | (0,69…0,71) ТО5 |
Дерево (вдоль волокон) | (0,1—.0,16) -105 |
Текстолит | (0,06…0,1)-105 |
Капрон | (0,01…0,02) ТО5 |
Если в формулу закона Гука подставим выражения а = N/A, е = А///, то получим
Произведение ЕЛ, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физикомеханические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса. Соответственно, данная формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе и длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной продольной силе.
Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:
Пример 2.2
На стальной ступенчатый брус действуют силы F= 40 кН и R = 60 кН. Площади поперечных сечений равны Ах = 800 мм2, Л2 = 1600 мм2. Длины участков указаны на рис. 2.4; а = 0,2 м. Определить изменение длины бруса двумя способами:
- 1) с помощью эпюры продольных сил;
- 2) с помощью принципа независимости действия сил.
Принять Е= 2-1011 Па.
Рис. 2.4
Решение.
1-й способ. Разобьем брус на участки и применяя метод сечений, определим значения продольных сил на каждом из них: Nx — N2 — —40 кН (сжатие), N3 = 20 кН (растяжение). Строим эпюру продольных сил.
Для бруса, состоящего из нескольких участков, А/ = A/i + Д/2 +Д/з, где по закону Гука
. Изменение длины первого участка
; аналогично
— изменения длин второго и третьего участков.
Следовательно,
Подставив числовые значения с учетом знаков продольных сил, получим
Произведя вычисления, получим Д/= —0,15 — 0,025 + 0,025 = —0,15 мм.
Следовательно, брус укоротится на 0,15 мм.
2-й способ. Применим принцип независимости действия сил. Изменение длины бруса Д/ будет складываться из укорочения AlF всего бруса под действием силы F и удлинения ДlR третьего участка под действием силы R: Д/ = AlF + + AlR. Вычислим каждое из этих слагаемых.
А1Р = -F- 3а/{ЕА) — F(a + 2а)/(ЕА2)’, подставляя числовые значения, получим А1Р= —0,225 мм.
Аналогично находим AlR = R ?2а/{ЕА2); AlR = 0,075 мм.
Отсюда Д/ — —0,225 + 0,075 = —0,15 мм.
Решая задачу двумя способами, мы получили один и тот же результат, что свидетельствует о правильности решения.
Источник
Закон Гука [в понятной форме]
Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе, совсем не сложно.
Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :)… Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.
Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат! Да и при изучении механики — это один из самых важных законов.
Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся — пишем их в комментариях или в личку.
Введение и основные понятия
Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.
Как вы догадываетесь, ключевое слово тут — сила упругости. Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это. Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.
И тут тоже появилось новое слово — деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.
А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая, важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.
Упругая деформация — это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.
Простейшие виды деформации — это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.
Формулировка закона Гука
Формулируется закон так:
Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к этому телу силе.
Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:
F = -kx ,
где F — сила упругости в теле, k — коэффициент упругости или жесткости, x — линейное изменение размеров тела.
Почему тут минус? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.
Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.
Разбираемся с новыми буквами
У нас появилась сила упругости в теле. Именно она в формуле — это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем), она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола.
k — это жесткость тела. Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости.
Стоит отметить, что это величина расчётная, но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Это уже основы сопротивления материалов и начнется «О Боже, профессор нинада!»)
х — это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.
Новые важные понятия и обобщенный закон Гука
Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил — пока речь идёт только об одноосном деформировании. Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно…
Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.
В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука. Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.
Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности. Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука. Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс — изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.
Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной.
Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.
Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала. Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :)…
Но вообще, при больших деформациях следует использовать иные способа расчёта.
Источник
Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
Содержание:
- Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- Напряжение под напряжением и сжатием. Закон крючка. Для того чтобы полностью понять работу растянутых или сжатых элементов, необходимо рассчитать, как изменяются их размеры. Эти же эксперименты позволяют изучить прочность материала, определить его прочность на растяжение и другие характеристики (Глава 11). Для проведения подобных экспериментов в лаборатории используются специальные машины, позволяющие деформировать и разрушать образцы, а также для усилий, необходимых для этого. При этом с помощью достаточно точных измерительных приборов (тензометрических датчиков) мы измеряем деформацию образца.
С помощью тестовой машины теперь можно проводить и точные измерения, конечная нагрузка достаточно велика. Испытательный пресс, который может быть испытан на сжатие всей части конструкции (колонны, части стены), составляет до 5000 тонн; когда дело доходит до испытания на растяжение, лаборатория использует растягивающее усилие до 1500 в большинстве современных лабораторий, натяжение 5-100 тонн и сжатие 200-500 тонн, меньшее усилие. Подробное описание таких машин и устройств, в частности, самой известной российской машины-
Гагаринского пресса, представлено в нашей книге»лабораторные исследования по сопротивлению материалов»и наиболее известных из них.
Людмила Фирмаль
Использование таких механических устройств позволяет определить, как изменяется размер образца материала при растяжении и сжатии. Наблюдая, как изменяется расстояние I между двумя точками A и B(рис. 8) Когда вы растягиваете образец, вы можете видеть, что по мере увеличения нагрузки расстояние между намеченными точками увеличивается.§ 8] деформация растяжения и сжатия 33 В таблице 1 показан один из экспериментов, проведенных в машинной лаборатории Ленинградского института инженеров путей сообщения, с отрезанными от рельсов брусками, длиной между двумя намеченными точками. Кроме того, эта нагрузка увеличивалась
ступенчато даже на 0,5 т с каждым увеличением изменения нагрузки Фигура. 8. Приращение длины I (100 мм)между намеченными точками выполнялось специальным прецизионным прибором, называемым тензометрическим датчиком. Так, например, при увеличении 1,5-2,0 Т эта длина увеличивается на величину этих приращений, которые указаны в Таблице 1 на каждом этапе нагружения. Т АБ л и Ц А1. Экспериментальные данные. Тонн груза Расширение от каждого этапа нагрузки ’1000′ * * 1000 м м полное расширение Тонн груза Относительное удлинение от°T o b G в каждой фазе нагрузки * * 1000 м м полное расширение 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3,0 3.5 4,0 4.5 14.5 14.5 4.5 5.0 5.5 6,0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 13.7 123.4 13.7 13.6 28.2
- 137.0 13.4 14.4 41.6 151.4 13.5 55.1 14.6 166.0 13.7 68.8 17.5 183.5 13.4 82.2 36.3 219.8 13.6 95.8 328.2 548.0 13.9 109.7 361.0 909.0 П Р и М е ч а н и Е. расчетная длина I = 100 мм. поперечное сечение F=191,2 м2. Рассматривая эту таблицу, мы видим, что: 1) в начале эксперимента увеличение длины пропорционально увеличению нагрузки, и каждое приращение нагрузки на 0,5 т примерно такое же(как и в эксперименте). Если графически представить результаты, полученные в этом эксперименте, то отложим нагрузку в вертикальном направлении и удлиним соответствующую- Беляева давление и деформация при растяжении и сжатии [гл. II Если сечение АВ горизонтально, то в известных пределах (в данном сл
учае до нагрузки 5,5 т) прямая линия указывает на пропорциональность между силой и вызванным ею удлинением.9). Нагрузка после достижения пропорциональности между приращением нагрузки и приращением удлинения называется нагрузкой, соответствующей пределу пропорциональности. Напряжение, вызванное этим 0/М0, 600, 0,800, 1000 мм Фигура. 9. Ага. Иди. Нагрузка называется пределом пропорциональности. Величина этой нагрузки делится на площадь поперечного сечения растянутого образца. Если, повторяя эксперимент, мы измерим увеличение длины между двумя другими точками C и D, построенными на расстоянии AB, равном половине длины CD от того же шага нагрузки.
Повторите эксперимент со стержнем из того же материала, но если поперечные сечения
Людмила Фирмаль
разные, то можно увидеть, что удлинение изменяется обратно пропорционально площади. Таким образом, эксперимент приводит к выводу, что относительное удлинение прямо пропорционально растягивающей силе Р, пока нагрузка на образец не достигла определенного предела, длины образца I и длины отбраковки.: ЗАПРЕТНЫЕ ЗОНЫ Ее.* (2.5) Где е-коэффициент пропорциональности, зависящий от различных материалов. Величина D / стержня og силы R называется абсолютным удлинением. Формула (2.5) называется законом Гука, в честь ученого, который впервые открыл пропорциональный закон в 1660 году. Зависимость (2.5) может быть представлена в другом виде. Разделите обе части этого выражения на исходную длину стержня Z: Д / _j П / ~ФВ; Отношение y-абсолютного удлинения к исходной длине-называется удлинением, это буква
E. It обозначается§.§ 8] деформация при растяжении и сжатии 35 Удлинение-это абстрактная величина, отношение двух длин AZ и Z, число которых равно удлинению каждой единицы длины стержня. Перед назначением -. вместо уравнения д/р Шуйского есть значение е, а у значение нормального напряжения, и получается другое уравнение закона крюка: «= — £ — (2-6) Или а=она. (2.7), следовательно, нормальное напряжение растяжения или сжатия прямо пропорционально удлинению или укорочению стержня. Коэффициент пропорциональности материала, который коррелирует нормальное напряжение с удлинением, называется модулем упругости
материала. Чем больше это значение, тем меньше удлиняется стержень, остальные равны (длина, площадь, сила Р). Таким образом, физический модуль упругости е характеризует сопротивление материала упругой деформации при растяжении. Удлинение е-это абстрактная величина, поэтому из Формулы (2.7) коэффициент выражается в единицах, равных напряжению а, то есть единице силы, деленной на единицу площади. Для стали величина этого коэффициента может быть рассчитана с использованием результатов экспериментов, приведенных в Таблице 1. Среднее удлинение образца против пропорционального нарушения от нагрузки 0,5 г равно 0,0136 мм, длина Z равна 100 мм, и, наконец, площадь/7 равна 191,2 м.）: Е=—Л МФ’ Назначают P=500 кг, 1=100 мм,
AZ=0,0136 мм, G=191,2 м м . E=5 0 0 ′ 19 200 кг] мм — 1 920 000 кг) см. Заметим, что значение модуля упругости материала е не является постоянным, даже если это один и тот же материал, но несколько изменяется. В одних материалах величина модуля одинакова как при растяжении, так и при сжатии(сталь, медь), в других случаях она различна для каждого из этих вариантов. В обычном расчете эта разница игнорируется и принимается для большинства материалов с одинаковым значением E как при растяжении, так и при сжатии. Давление и напряжение растяжения и сжатия[2*36 по гл. Я Следует иметь в виду, что закон крюка выражается только формулами, приближающими результаты эксперимента. Все материалы при растяжении или сжатии дают величину деформации, более или менее отклоняющуюся от этого закона. В некоторых материалах
(большинство металлов) эти отклонения незначительны и могут рассматриваться как полностью пропорциональные зависимости между деформацией и нагрузкой. Однако в практических целях небольшие отклонения от наблюдаемых формул (2.5) и (2.6) можно игнорировать и использовать их при расчете деформации стержня. Среднее значение модуля E для некоторых материалов приведено в таблице 2.It отдается в руки. Более подробную информацию можно найти на последней таблице книги. Т а б л и Ц А2. Величина модуля упругости. Наименование материала Е Миллионы долларов. K2IC1& Сталь…………………………………………………………………. Чугун(серый, б
е л ы м)………………………………………. Медь и ее сплавы (латунь, б / у)………………. Алюминий и дюралюминий…………………………………… Кладка: гр и Н И та………………………………………….. > Из известняка.。………………………………….. > Из кирпича…………………………………………. Бетон…………………………………………………………………. Древесина: вдоль волокон……………………………………. Через волокно………………………………. Резинка………………………………………………………………. Целлулоид. ………………………………………………………… 2.0 1,15 4-1, 60 1.0 0.7 0.09 0.06 0.03 4 0,10-0,30 0.1 0.005 0.00008 0.0193 4-0, 0174
Смотрите также:
- Учебник по сопротивлению материалов: сопромату
Источник